Considere um sistema de referencia ortogonal e responda os itens a seguir
(a) (0,5) Mostre que os pontos A=(1,2,-1), B=(2,1,0) e C=(-1,4,3) não são colineares.
(b) (1.0) Dada a reta r : \left\{\begin{array}{l}x=3-2 \lambda \\\ y=4 \lambda \\\ z=-1+\lambda\end{array}\right. e o ponto)P={5,-1,3} , determine uma equação vetorial paraçãr . O ponto P pertence ar$? Verifique.
(c) (1.5) Encontre equações vetoriais e geral do plano \pi que contem r e é paralelo ao vetor \vec{r}=(1,-1,0)

Passo 1

O enunciado trata de geometria vetorial em \mathbb{R}^3.
(a) pede para mostrar que três pontos não são colineares, usando teste de dependência de vetores.
(b) quer a equação vetorial de uma reta dada em forma paramétrica e verificar se um ponto pertence a ela.
(c) exige a equação vetorial e a equação geral de um plano que contém essa reta e é paralelo a um vetor dado.

Passo 2

Para (a), usamos o teste de colinearidade: calculamos \overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-2,\;0-(-1))=(1,-1,1) \overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,\;4-2,\;3-(-1))=(-2,2,4)
Se fossem colineares, existiria k tal que \overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}. Das componentes:
  1. 1\cdot k=-2 k=-2.
  2. -1\cdot k=2 k=-2.
  3. 1\cdot k=4 daria k=4, que contradiz k=-2.
    Logo não há escalar único que faça \overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}, e os pontos não são colineares.

Passo 3

Para (b), reescrevemos a reta r\) em forma vetorial. Nas equações \[\begin{cases} x=3-2\lambda,\\\ y=4\lambda,\\\ z=-1+\lambda \end{cases}
o ponto de apoio é P_0=(3,0,-1)\] e o vetor diretor é \(\vec d=(-2,4,1).
Assim
\text{r: }\mathbf r(\lambda)= (3,0,-1)+\lambda\,(-2,4,1).
Para saber se P=(5,-1,3) pertence a r, igualamos componente a componente:
5=3-2\lambda,\quad -1=4\lambda,\quad 3=-1+\lambda.
Da primeira equação vem \lambda=-1; da segunda, \lambda=-\tfrac14; da terceira, \lambda=4. Como não há \lambda único que satisfaça todas, P não pertence a r.

Passo 4

Para (c), o plano \pi deve conter a reta r (vetor diretor \vec d=(-2,4,1) e ponto P_0=(3,0,-1)) e ser paralelo ao vetor \vec v=(1,-1,0).
  1. Equação vetorial do plano: escolhemos P_0 como ponto de apoio e usamos os vetores diretores \vec d e \vec v:
\pi:\;\mathbf r(s,t)= (3,0,-1)+s\,(-2,4,1)+t\,(1,-1,0).
  1. Equação geral: o normal \vec n é perpendicular a \vec d e a \vec v, então
\vec n=\vec d\times\vec v =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -2 & 4 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =(1,1,-2).
A forma cartesiana é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0 \;\Longrightarrow\;(1,1,-2)\cdot(x-3,y-0,z+1)=0,
isto é
(x-3)+(y-0)-2(z+1)=0 \;\Longrightarrow\;x+y-2z-1=0.

Resposta

(a) Os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos, logo A,B,C não são colineares.
(b)
\mathbf r(\lambda)= (3,0,-1)+\lambda\,(-2,4,1).
O ponto P=(5,-1,3) não pertence à reta r.
(c)
Equação vetorial de \pi:
\mathbf r(s,t)= (3,0,-1)+s\,(-2,4,1)+t\,(1,-1,0).
Equação geral de \pi:
x+y-2z-1=0.

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