Considere um sistema de referencia ortogonal e responda os itens a seguir
(a) (0,5) Mostre que os pontos A=(1,2,-1), B=(2,1,0) e C=(-1,4,3) não são colineares.
(b) (1.0) Dada a reta r : \left\{\begin{array}{l}x=3-2 \lambda \\\ y=4 \lambda \\\ z=-1+\lambda\end{array}\right. e o ponto)P={5,-1,3}, determine uma equação vetorial paraçãr. O ponto P pertence ar$? Verifique.
(c) (1.5) Encontre equações vetoriais e geral do plano \pi que contem r e é paralelo ao vetor \vec{r}=(1,-1,0)
Passo 1
O enunciado trata de geometria vetorial em \mathbb{R}^3.
(a) pede para mostrar que três pontos não são colineares, usando teste de dependência de vetores.
(b) quer a equação vetorial de uma reta dada em forma paramétrica e verificar se um ponto pertence a ela.
(c) exige a equação vetorial e a equação geral de um plano que contém essa reta e é paralelo a um vetor dado.
Passo 2
Para (a), usamos o teste de colinearidade: calculamos \overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-2,\;0-(-1))=(1,-1,1) \overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,\;4-2,\;3-(-1))=(-2,2,4)
Se fossem colineares, existiria k tal que \overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}. Das componentes:
1\cdot k=-2 dá k=-2.
-1\cdot k=2 dá k=-2.
1\cdot k=4 daria k=4, que contradiz k=-2.
Logo não há escalar único que faça \overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}, e os pontos não são colineares.
Passo 3
Para (b), reescrevemos a reta r\) em forma vetorial. Nas equações
\[\begin{cases} x=3-2\lambda,\\\ y=4\lambda,\\\ z=-1+\lambda \end{cases}
o ponto de apoio é P_0=(3,0,-1)\] e o vetor diretor é \(\vec d=(-2,4,1).
Da primeira equação vem \lambda=-1; da segunda, \lambda=-\tfrac14; da terceira, \lambda=4. Como não há \lambda único que satisfaça todas, P não pertence a r.
Passo 4
Para (c), o plano \pi deve conter a reta r (vetor diretor \vec d=(-2,4,1) e ponto P_0=(3,0,-1)) e ser paralelo ao vetor \vec v=(1,-1,0).
Equação vetorial do plano: escolhemos P_0 como ponto de apoio e usamos os vetores diretores \vec d e \vec v: