If \ell \perp n and m \perp n, then \ell \| m or \ell=m.

Passo 1

Estamos no espaço euclidiano tridimensional, com retas \ell, m e n. A condição \ell\perp n significa que \ell intersecta n e forma ângulo reto com ela; o mesmo para m\perp n. A afirmação a ser verificada é: “se \ell\perp n e m\perp n, então \ell\parallel m ou \ell = m”.

Passo 2

Para analisar a validade, vamos usar um sistema de coordenadas (x,y,z). Escolhemos uma reta n simples de representar: o eixo z, dado por
n=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
Uma reta é perpendicular a n se ela passa pela origem e está contida no plano z=0, pois esse plano é ortogonal ao eixo z.

Passo 3

Tomemos duas retas distintas no plano z=0 que passam pela origem: \ell como eixo x, isto é
\ell=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
e m como eixo y, isto é
m=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Verificamos então:
  1. \ell\perp n, pois \ell está no plano z=0 e intersecta n em (0,0,0) formando 90^\circ.
  2. m\perp n pelo mesmo motivo.
  3. \ell e m intersectam-se em (0,0,0) mas não são paralelas (ângulo de 90^\circ entre elas) e tampouco coincidem pois têm direções distintas.
Logo, \ell e m não são paralelas nem iguais, mas ambas são perpendiculares a n.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é o eixo x e o eixo y (duas retas diferentes no plano z=0), ambas perpendiculares ao eixo z, mas que não são paralelas nem coincidentes.

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