Localize todos os extremos locais e pontos de sela de
e)
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Passo 1
Estamos estudando a localização de extremos locais e pontos de sela da função de duas variáveis f(x,y)=e^{x},\sin(y). Para isso, vamos precisar do conceito de derivadas parciais, do gradiente e da condição de pontos críticos (gradiente igual a zero). A partir daí, ver se há pontos que satisfazem essa condição e, se houver, usar a matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de f. Lembrando que e^{x} nunca é zero, temos:
fx(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e{x}\sin(y)\bigr)=e{x}\sin(y)
fy(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e{x}\sin(y)\bigr)=e{x}\cos(y)
fx(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e{x}\sin(y)\bigr)=e{x}\sin(y)
fy(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e{x}\sin(y)\bigr)=e{x}\cos(y)
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, impomos fx=0 e fy=0 simultaneamente. Como e^{x}\neq 0 para todo x, isso fica equivalente a:
\sin(y)=0 e \cos(y)=0 ao mesmo tempo.
\sin(y)=0 e \cos(y)=0 ao mesmo tempo.
Passo 4
Mas não existe nenhum valor de y que faça \sin(y)=0 e \cos(y)=0 simultaneamente (os zeros de seno são y=k\pi e os zeros de cosseno são y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, sem interseção).
Logo, não há pontos em que o gradiente de f seja nulo. Consequentemente, não existem pontos críticos, e assim não há nem extremos locais nem pontos de sela.
Logo, não há pontos em que o gradiente de f seja nulo. Consequentemente, não existem pontos críticos, e assim não há nem extremos locais nem pontos de sela.
Resposta
Não existem extremos locais nem pontos de sela para f(x,y)=e^{x},\sin(y).