Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes da EDO dada.
y^prime prime-y^prime+6 y=0 y1(x)=e^-2 x, y2(x)=e^3 x

Passo 1

O enunciado é verificar se as funções y1(x)=e^-2x e y2(x)=e^3x são soluções da EDO y'' - y' + 6y = 0 e se são linearmente independentes. Para isso precisamos derivar as funções, fazer a substituição na equação e, em princípio, calcular o Wronskiano.

Passo 2

Para y1(x)=e^-2x, calculemos as derivadas:
y1' = -2e^-2x, y1'' = 4e^-2x
Substituindo em y'' - y' + 6y obtemos:
4e^-2x - (-2e^-2x) + 6e^-2x = 12e^-2x neq 0
Logo, y1 não satisfaz a EDO.

Passo 3

Para y2(x)=e^3x, calculemos as derivadas:
y2' = 3e^3x, y2'' = 9e^3x
Substituindo em y'' - y' + 6y obtemos:
9e^3x - 3e^3x + 6e^3x = 12e^3x neq 0
Logo, y2 não satisfaz a EDO.

Passo 4

Como nenhuma das funções satisfaz a equação diferencial, elas não são soluções e não faz sentido calcular o Wronskiano para testar independência linear.

Resposta

As funções y1 e y2 não são soluções da EDO dada e, portanto, não são linearmente independentes soluções.

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