Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
11. f(x, y)=x^2+x y+y^2-3 x

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x. O conteúdo aqui é análise de extremos usando derivadas parciais: vamos calcular o gradiente, encontrar pontos críticos e usar a Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial fpartial x=2x+y-3 e partial fpartial y=x+2y. Igualando a zero, resolvemos o sistema de equações:
2x+y-3=0 x+2y=0
Da segunda equação vem x=-2y. Substituindo em 2x+y-3=0, temos -4y+y-3=0 ou -3y-3=0, logo y=-1 e x=2.

Passo 3

O único ponto crítico é (2,-1). Agora montamos a matriz Hessiana com as segundas derivadas:
H= partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial xpartial y partial^2fpartial ypartial x & partial^2fpartial y^2 = 2 & 1 1 & 2
Calculamos o determinante det H=2cdot2-1cdot1=3>0 e o traço tr H=4>0, portanto H é definida positiva.

Passo 4

Como a Hessiana é definida positiva em (2,-1), esse ponto crítico é um mínimo relativo. Não há pontos onde a Hessiana seja indefinida ou de sinal misto, então não existem máximos relativos nem pontos de sela.

Resposta

Mínimo relativo em (2,−1) com valor f(2,−1)=−3. Não há máximos relativos nem pontos de sela.

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