Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
11.
Passo 1
Temos a função . O conteúdo aqui é análise de extremos usando derivadas parciais: vamos calcular o gradiente, encontrar pontos críticos e usar a Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais: e . Igualando a zero, resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação vem . Substituindo em , temos ou , logo e .
Passo 3
O único ponto crítico é . Agora montamos a matriz Hessiana com as segundas derivadas:
Calculamos o determinante det H=2cdot2-1cdot1=3>0 e o traço tr H=4>0, portanto H é definida positiva.
Passo 4
Como a Hessiana é definida positiva em (2,-1), esse ponto crítico é um mínimo relativo. Não há pontos onde a Hessiana seja indefinida ou de sinal misto, então não existem máximos relativos nem pontos de sela.
Resposta
Mínimo relativo em (2,−1) com valor f(2,−1)=−3. Não há máximos relativos nem pontos de sela.