Determine o volume máximo da caixa retangular com três faces nos planos coordenados e o vértice no primeiro octante no plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado quer achar o volume máximo de uma caixa cujas três faces ficam nos planos coordenados e cujo vértice oposto (x,y,z) está no plano x+y+z=1 no primeiro octante. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar a desigualdade AM-GM para resolver.

Passo 2

Denotamos o volume pela função V(x,y,z)=xyz sujeita à restrição x+y+z=1 e às condições x,y,z>=0. Como estamos no primeiro octante, podemos aplicar a AM-GM sem problemas.

Passo 3

A desigualdade AM-GM diz que para números não-negativos x,y,z vale
x+y+z3>=(xyz)^1/3,
com igualdade se e só se x=y=z. Substituindo x+y+z=1 temos
(xyz)^1/3<=13,
logo
xyz<=127

Passo 4

A igualdade ocorre quando x=y=z=tfrac13, então o volume máximo é
Vmax=l(tfrac13r)^3=tfrac127

Resposta

O volume máximo é 1/27.

Exercícios relacionados