Determine o volume máximo da caixa retangular com três faces nos planos coordenados e o vértice no primeiro octante no plano
.
Passo 1
O enunciado quer achar o volume máximo de uma caixa cujas três faces ficam nos planos coordenados e cujo vértice oposto
está no plano
no primeiro octante. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar a desigualdade AM-GM para resolver.
Passo 2
Denotamos o volume pela função
sujeita à restrição
e às condições
. Como estamos no primeiro octante, podemos aplicar a AM-GM sem problemas.
Passo 3
A desigualdade AM-GM diz que para números não-negativos
vale
com igualdade se e só se
. Substituindo
temos
logo
Passo 4
A igualdade ocorre quando
, então o volume máximo é
Resposta
O volume máximo é
.