Determine três números positivos cuja soma seja 25 e tais que seu produto seja o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três números positivos cuja soma seja 25 e cujo produto seja máximo. Vamos usar conteúdo de otimização com restrição de soma fixa, aplicando a desigualdade entre média aritmética e geométrica (AM–GM).

Passo 2

A desigualdade AM–GM diz que, para números positivos a,b,c, vale
a+b+c3 >= (abc)^1/3
com igualdade se, e somente se, a=b=c. Aqui temos a+b+c=25, então
253 >= (abc)^1/3
Elevando ao cubo, obtemos
$$
abc \le \Bigl(\frac{25}{3}\Bigr)^3 abc <= l(253r)^3
a = b = c = \frac{25}{3}.
$$

Resposta

Os três números são 25/3, 25/3 e 25/3.

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