Determine todos os pontos da superfície
nos quais o plano tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela função
e pede: determinar todos os pontos dessa superfície nos quais o plano tangente é horizontal.
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta a responder:
- Encontrar todos os pontos
da superfície onde o plano tangente é horizontal.
Passo 2
O que significa “plano tangente horizontal” para uma superfície dada por
?
A forma geral do plano tangente a
no ponto
é
onde
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial em relação a
.
Explicação didática:
-
mede a inclinação do gráfico na direção do eixo quando é mantido fixo em . -
mede a inclinação do gráfico na direção do eixo quando é mantido fixo em . - Para o plano tangente ser horizontal (ou seja, paralelo ao plano
), ele não pode inclinar nem na direção nem na direção . Isso significa que ambos os coeficientes das variações e devem ser zero:
Portanto, precisamos resolver o sistema formado por
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Cálculo passo a passo de
(derivando em relação a
, tratando
como constante):
- derivada de
é ; - derivada de
é (pois é constante multiplicando ); - derivada de
é (não depende de ); - derivada de
é ; - derivada de
é .
Somando:
Cálculo passo a passo de
(derivando em relação a
, tratando
como constante):
- derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é .
Somando:
Passo 4
Formar e resolver o sistema [f_x(x,y)=0) e
.
Escrevendo as equações:
Podemos simplificar cada equação dividindo por
(multiplicando por
e reorganizando), de modo que o sistema exige simultaneamente
Essas duas igualdades são contraditórias porque
. Outra forma ainda mais direta de ver a contradição é somar as duas equações originais:
o que dá
, impossível. Portanto o sistema não tem solução.]
Passo 5
Conclusão lógica do processo:
- Não existem pontos
que façam e ao mesmo tempo. - Logo, não há nenhum ponto da superfície em que o plano tangente seja horizontal.
Pequeno exemplo para fixar a ideia (fora do problema): para
temos
e
; ambos se anulam em
, então o plano tangente em
é horizontal. Aqui, por contraste, a nossa função não admite tal ponto.
Resposta
Não existem pontos da superfície cujo plano tangente seja horizontal.