Determine todos os pontos da superfície z=x^{2}-2 x y+y^{2}-x+3 y nos quais o plano tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela função
z = x^{2} - 2xy + y^{2} - x + 3y
e pede: determinar todos os pontos dessa superfície nos quais o plano tangente é horizontal.
Informações relevantes fornecidas:
\text{função }f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}-x+3y.çã
Pergunta a responder:
  • Encontrar todos os pontos (x,y,z) da superfície onde o plano tangente é horizontal.

Passo 2

O que significa “plano tangente horizontal” para uma superfície dada por z=f(x,y)?
A forma geral do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (a,b) é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y é a derivada parcial em relação a y.
Explicação didática:
  • f_x(a,b) mede a inclinação do gráfico na direção do eixo x quando y é mantido fixo em b.
  • f_y(a,b) mede a inclinação do gráfico na direção do eixo y quando x é mantido fixo em a.
  • Para o plano tangente ser horizontal (ou seja, paralelo ao plano xy), ele não pode inclinar nem na direção x nem na direção y. Isso significa que ambos os coeficientes das variações (x-a) e (y-b) devem ser zero:
f_x(a,b)=0 \quad\text{e}\quad f_y(a,b)=0.
Portanto, precisamos resolver o sistema formado por f_x(x,y)=0 e f_y(x,y)=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}-x+3y.
Cálculo passo a passo de f_x (derivando em relação a x, tratando y como constante):
  • derivada de x^{2} é 2x;
  • derivada de -2xy é -2y (pois -2y é constante multiplicando x);
  • derivada de y^{2} é 0 (não depende de x);
  • derivada de -x é -1;
  • derivada de 3y é 0.
    Somando:
f_x(x,y)=2x-2y-1.
Cálculo passo a passo de f_y (derivando em relação a y, tratando x como constante):
  • derivada de x^{2} é 0;
  • derivada de -2xy é -2x;
  • derivada de y^{2} é 2y;
  • derivada de -x é 0;
  • derivada de 3y é 3.
    Somando:
f_y(x,y)=-2x+2y+3.

Passo 4

Formar e resolver o sistema [f_x(x,y)=0) e f_y(x,y)=0.
Escrevendo as equações:
\begin{cases} 2x-2y-1=0,\\[4pt] -2x+2y+3=0. \end{cases}
Podemos simplificar cada equação dividindo por 2\] se quisermos: \[\begin{cases} x-y=\tfrac{1}{2},\\[4pt] -x+y=-\tfrac{3}{2}. \end{cases}\] Observe que a segunda equação é equivalente a \(x-y=\tfrac{3}{2} (multiplicando por -1 e reorganizando), de modo que o sistema exige simultaneamente
x-y=\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad x-y=\tfrac{3}{2}.
Essas duas igualdades são contraditórias porque \tfrac{1}{2}\neq\tfrac{3}{2}. Outra forma ainda mais direta de ver a contradição é somar as duas equações originais:
(2x-2y-1)+(-2x+2y+3)=2,
o que dá 2=0, impossível. Portanto o sistema não tem solução.]

Passo 5

Conclusão lógica do processo:
  • Não existem pontos (x,y) que façam f_x(x,y)=0 e f_y(x,y)=0 ao mesmo tempo.
  • Logo, não há nenhum ponto da superfície em que o plano tangente seja horizontal.
Pequeno exemplo para fixar a ideia (fora do problema): para g(x,y)=x^{2}+y^{2} temos g_x=2x e g_y=2y; ambos se anulam em (0,0), então o plano tangente em (0,0,g(0,0))=(0,0,0) é horizontal. Aqui, por contraste, a nossa função não admite tal ponto.

Resposta

Não existem pontos da superfície cujo plano tangente seja horizontal.

Exercícios relacionados