Se \log 30=k, quanto é \log 9 ?

Passo 1

O enunciado dá que \log 30 = k e pede que encontremos \log 9. Aqui vou assumir que \log é o logaritmo decimal (base 10), que é o mais comum quando não se indica a base. Informações dadas:
  • \log 30 = k.
    O que se pede:
  • Encontrar \log 9 expresso em termos de k.

Passo 2

Vamos recordar duas propriedades básicas dos logaritmos que precisaremos:
  • Produto: para quaisquer a>0 e b>0,
\log(ab)=\log a+\log b.
  • Potência: para a>0 e qualquer real n,
\log(a^{n})=n\log a.
Aqui, a variável \log significa logaritmo na base 10, então por exemplo \log 10=1.

Passo 3

Escrevemos 30 como produto envolvendo 3, porque 9 está relacionado a 3. Observamos que
30 = 3\cdot 10.
Aplicando a propriedade do produto:
\log 30 = \log(3\cdot 10)=\log 3 + \log 10.

Passo 4

Como estamos usando logaritmo decimal, \log 10 = 1. Substituindo na igualdade anterior e usando \log 30 = k, obtemos
k = \log 3 + 1.
Isolando \log 3:
\log 3 = k - 1.

Passo 5

Queremos \log 9. Escrevemos 9 como potência de 3: 9=3^{2}. Aplicando a propriedade de potência:
\log 9 = \log(3^{2}) = 2\log 3.
Substituindo \log 3 = k-1:
\log 9 = 2(k-1) = 2k - 2.

Resposta

\log 9 = 2k - 2

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