Se \log _{4} a=8, então quanto é \log _{16} a ?

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\log_{4} a = 8.
A pergunta é: quanto vale
\log_{16} a?

Passo 2

Lembrando a definição de logaritmo: se \log_{b} x = y então isso significa que
b^{y} = x.
Aplicando isso ao dado \log_{4} a = 8, temos
4^{8} = a.
(Exemplo rápido: \log_{10} 100 = 2 porque 10^{2}=100.)

Passo 3

Para achar \log_{16} a seja
\log_{16} a = x.
Pela definição de logaritmo isso significa
16^{x} = a.

Passo 4

Observe que 16 pode ser escrito como potência de 4:
16 = 4^{2}.
Substituindo isso e a expressão de a obtida no Passo 2 na igualdade do Passo 3:
(4^{2})^{x} = 4^{8}.

Passo 5

Usando a propriedade de potências (b^{m})^{n} = b^{mn}, a equação do Passo 4 vira
4^{2x} = 4^{8}.
Como as bases são iguais ( 4), os expoentes devem ser iguais:
2x = 8.

Passo 6

Resolvendo para x:
x = \frac{8}{2} = 4.

Passo 7

(Alternativa curta — verificação usando mudança de base:)
\log_{16} a = \frac{\log_{4} a}{\log_{4} 16} = \frac{8}{2} = 4,
pois \log_{4}16=2.

Resposta

4

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