log 2(x+1)=3-log 2 x

Passo 1

A gente tem a equação log2(x+1)=3-log2x. O conteúdo aqui é resolução de equação logarítmica, e vamos precisar das propriedades de logaritmo (domínio e soma de logaritmos) para resolver.

Passo 2

Primeiro, definimos o domínio da equação: como aparece log2x, precisamos de x>0. Além disso, log2(x+1) exige x+1>0, mas isso já fica garantido quando x>0.

Passo 3

Agora, trazemos os termos de logaritmo para o mesmo lado:
log2(x+1)+log2x=3
e usamos a propriedade de soma de logaritmos que diz que logbA+logbB=logb(Acdot B):
log2l(x(x+1)r)=3

Passo 4

Em seguida, aplicamos a definição de logaritmo em forma exponencial:
x(x+1)=2^3=8

Passo 5

Isso vira uma equação quadrática:
x^2+x-8=0

Passo 6

Resolvendo pelo discriminante: De. As raízes são:
x=-1pmraiz332

Passo 7

Por fim, verificamos o domínio x>0 e vemos que só faz sentido
x=-1+raiz332

Resposta

-1+raiz332

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