Derivar e Siuplificar
y=log e(x+raiz1+x^2)

Passo 1

A questão pede para derivar a função y=lnl(x+raiz1+x^2r). O conteúdo principal aqui é a derivada de um logaritmo natural ( ln) usando a regra da cadeia, e também precisamos saber a derivada de raiz1+x^2.

Passo 2

Vamos chamar u(x)=x+raiz1+x^2. Primeiro, derivamos cada termo de u:
ddx(x)=1,
ddxl(raiz1+x^2r)=12raiz1+x^2cdot2x=xraiz1+x^2
Portanto,
u'(x)=1+xraiz1+x^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para y=ln(u):
y'=u'(x)u(x)=1+dfracxraiz1+x^2x+raiz1+x^2

Passo 4

Para simplificar, note que no numerador podemos juntar em único quociente:
1+xraiz1+x^2=raiz1+x^2+xraiz1+x^2
Então
y'=dfracraiz1+x^2+xraiz1+x^2x+raiz1+x^2=raiz1+x^2+xraiz1+x^2,(x+raiz1+x^2)

Passo 5

Perceba que raiz1+x^2+x aparece no numerador e no denominador, então cancela, sobrando
y'=1raiz1+x^2
Isso faz sentido também porque y=ln(x+raiz1+x^2) é a definição de arsinh(x), cuja derivada é 1/raiz1+x^2.

Resposta

y'=1raiz1+x^2

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