log 3 x+log 3(x-2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de logaritmos log3x + log3(x-2) = 1. Estamos trabalhando com logaritmos de base 3 e vamos usar propriedades de soma de logaritmos e definição de log para transformar isso numa equação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vemos que os argumentos dos logaritmos precisam ser positivos. Então exigimos
x > 0 e x - 2 > 0
o que implica
x > 2

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de soma de logaritmos:
log3x + log3(x-2) = log3l(x(x-2)r)

Passo 4

Assim a equação vira
log3l(x(x-2)r) = 1

Passo 5

Pela definição de logaritmo, isso significa que o argumento vale 3 elevado a 1. Logo:
x(x-2) = 3^1 = 3

Passo 6

Expandindo e colocando tudo num lado, obtemos a equação quadrática:
x^2 - 2x - 3 = 0

Passo 7

Resolvendo por fórmula de Bhaskara: o discriminante é De. Assim
x = 2 pm raiz162 = 2 pm 42,
resultando em x = 3 ou x = -1.

Passo 8

Só podemos aceitar soluções que satisfaçam x > 2. Dessas, apenas x = 3 cumpre a condição.
Portanto, a única solução válida é x = 3.

Resposta

x = 3

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