Resolva o PVI.
\\left(1+t^{2}\\\right) y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}+3 t^{-2}=0, y(1)=2, y^{\prime}(1)=-1

Passo 1

O problema fornece o problema de valor inicial (PVI):
\left(1+t^{2}\right)y''+2t\,y'+3t^{-2}=0,\qquad y(1)=2,\qquad y'(1)=-1.
Lista das informações dadas:
  • A equação diferencial é \left(1+t^{2}\right)y''+2t\,y'+3t^{-2}=0.
  • As condições iniciais são y(1)=2 e y'(1)=-1.
  • Observação útil: a presença de t^{-2} exige t\neq0; o PVI está bem definido para t em intervalos que não contenham 0.
O que o enunciado pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Redução da ordem: reparar que a equação não contém o termo y (só y'' e y'). Isso sugere definir
u(t)=y'(t).
Então u'(t)=y''(t). Substituindo na equação obtemos uma equação de primeira ordem para u:
\left(1+t^{2}\right)u'+2t\,u+3t^{-2}=0.
Reescrevendo em forma padrão (isolando u'):
u'+\frac{2t}{1+t^{2}}\,u=-\frac{3}{t^{2}(1+t^{2})}.
Agora temos um problema de resolver uma equação linear de primeira ordem para u.

Passo 3

Resolver a equação linear para u usando fator integrante. Para uma equação da forma
u'+p(t)u=q(t),
o fator integrante é \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right). Aqui p(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}}, então
\mu(t)=\exp\!\left(\int\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt\right).
Calcule a integral:
\int\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\ln(1+t^{2})\quad\text{(porque a derivada de \(1+t^2\) é \(2t\))}.é
Portanto
\mu(t)=e^{\ln(1+t^{2})}=1+t^{2}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=1+t^{2} obtemos
(1+t^{2})u'+2t( u) = -\frac{3}{t^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (1+t^{2})u, ou seja
\frac{d}{dt}\big[(1+t^{2})u\big] = -3t^{-2}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^{2})u = \int -3t^{-2}\,dt = 3t^{-1} + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Assim
u(t)=y'(t)=\frac{3/t + C_1}{1+t^{2}}.

Passo 5

Determinar C_1 usando a condição inicial y'(1)=-1. Substituindo t=1 na expressão de u:
-1 = y'(1) = \frac{3/1 + C_1}{1+1} = \frac{3 + C_1}{2}.
Daí 3 + C_1 = -2, então
C_1 = -5.
Portanto
y'(t)=\frac{3/t - 5}{1+t^{2}}=\frac{3-5t}{t(1+t^{2})}.

Passo 6

Integração para obter y(t). Vamos integrar
y'(t)=\frac{3-5t}{t(1+t^{2})}.
Fazemos decomposição em frações parciais do tipo
\frac{3-5t}{t(1+t^{2})}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{1+t^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por t(1+t^{2}) obtemos
3-5t = A(1+t^{2})+(Bt+C)t = A + (A+B)t^{2} + Ct.
Igualando coeficientes em potências de t:
  • coeficiente de t^{0}: A = 3,
  • coeficiente de t^{1}: C = -5,
  • coeficiente de t^{2}: A+B = 0 \Rightarrow B = -A = -3.
Logo a decomposição é
\frac{3-5t}{t(1+t^{2})}=\frac{3}{t}+\frac{-3t-5}{1+t^{2}}.

Passo 7

Integrar termo a termo:
y(t)=\int y'(t)\,dt = \int\frac{3}{t}\,dt + \int\frac{-3t}{1+t^{2}}\,dt + \int\frac{-5}{1+t^{2}}\,dt + C_2.
Calcule cada integral:
  • \displaystyle \int\frac{3}{t}\,dt = 3\ln|t|.
  • \displaystyle \int\frac{-3t}{1+t^{2}}\,dt = -\frac{3}{2}\ln(1+t^{2}) (pois \dfrac{d}{dt}\ln(1+t^{2})=\dfrac{2t}{1+t^{2}}).
  • \displaystyle \int\frac{-5}{1+t^{2}}\,dt = -5\arctan t.
Portanto a primitiva geral é
y(t)=3\ln|t|-\frac{3}{2}\ln(1+t^{2})-5\arctan t + C_2.

Passo 8

Determinar C_2 usando y(1)=2. Substituindo t=1:
2 = y(1) = 3\ln 1 -\frac{3}{2}\ln 2 -5\arctan 1 + C_2.
Como \ln 1=0 e \arctan 1=\dfrac{\pi}{4}, segue
2 = -\frac{3}{2}\ln 2 -5\cdot\frac{\pi}{4} + C_2,
logo
C_2 = 2 + \frac{3}{2}\ln 2 + \frac{5\pi}{4}.
Substituindo C_2 obtemos a solução particular:
y(t)=3\ln|t|-\frac{3}{2}\ln(1+t^{2})-5\arctan t + 2 + \frac{3}{2}\ln 2 + \frac{5\pi}{4}.

Resposta

y(t)=3\ln|t|-\dfrac{3}{2}\ln(1+t^{2})-5\arctan t + 2 + \dfrac{3}{2}\ln 2 + \dfrac{5\pi}{4}

Exercícios relacionados