Resolva o PVI.
Passo 1
O problema fornece o problema de valor inicial (PVI):
Lista das informações dadas:
- A equação diferencial é
. - As condições iniciais são
e . - Observação útil: a presença de
exige ; o PVI está bem definido para em intervalos que não contenham .
O que o enunciado pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Redução da ordem: reparar que a equação não contém o termo
(só
e
). Isso sugere definir
Então
. Substituindo na equação obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Reescrevendo em forma padrão (isolando
):
Agora temos um problema de resolver uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Resolver a equação linear para
usando fator integrante. Para uma equação da forma
o fator integrante é
. Aqui
, então
Calcule a integral:
Portanto
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 5
Determinar
usando a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Daí
, então
Portanto
Passo 6
Integração para obter
. Vamos integrar
Fazemos decomposição em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes em potências de
:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: .
Logo a decomposição é
Passo 7
Integrar termo a termo:
Calcule cada integral:
-
. -
(pois ). -
.
Portanto a primitiva geral é
Passo 8
Determinar
usando
. Substituindo
:
Como
e
, segue
logo
Substituindo
obtemos a solução particular: