O logaritmo de um número
, numa base
, é definido por meio da equivalência
a) Prove a propriedade de Mudança de Base:
.
b) Se
é a função definida por
, para
, mostre que
.
b) Se
Passo 1
O enunciado define
por
e pede dois resultados do cálculo de logaritmos:
- (a) a fórmula de mudança de base
, - (b) a derivada de
.
Para resolver (a) usaremos propriedades do logaritmo natural, e para (b) a regra de derivação dee a constante .
Passo 2
Prova da mudança de base. Seja
Pela definição,
. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, segue
Portanto
Passo 3
Derivada de
. Pela parte (a) temos
Aqui
é constante, e sabemos que
. Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)