O logaritmo de um número N>0, numa base 0<b neq 1, é definido por meio da equivalência
log b N=a Leftrightarrow b^a=N
a) Prove a propriedade de Mudança de Base: log b N=ln Nln b.
b) Se f é a função definida por f(x)=log b x, para x>0, mostre que f^prime(x)=1x ln b.

Passo 1

O enunciado define logbN por
logbN = a ;Long<=ftrightarrow; b^a = N,
e pede dois resultados do cálculo de logaritmos:
  • (a) a fórmula de mudança de base logbN = ln Nln b,
  • (b) a derivada de f(x)=logbx.
    Para resolver (a) usaremos propriedades do logaritmo natural, e para (b) a regra de derivação de ln x e a constante ln b.

Passo 2

Prova da mudança de base. Seja
a = logbN
Pela definição, b^a=N. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
lnl(b^ar)=ln N
Como ln(b^a)=a,ln b, segue
a,ln b = ln N Longrightarrow a = ln Nln b
Portanto
logbN = ln Nln b

Passo 3

Derivada de f(x)=logbx. Pela parte (a) temos
f(x)=ln xln b
Aqui ln b é constante, e sabemos que ddx(ln x)=1x. Logo
f'(x) =1ln b,ddx(ln x) =1ln b,1x =1x,ln b

Resposta

(a) logbN = ln Nln b
(b) f'(x)=1x,ln b

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