(Logístico - não linear) Aproxime
y^{\prime}(t)=y(1-y), \quad y(0)=0,1
com h=0,2 até t=1,0.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução da equação diferencial logística
y'(t)=y(1-y),\quad y(0)=0,1
usando passo h=0,2 até t=1,0. Vamos aplicar o método de Euler explícito, que é uma forma simples de obter uma aproximação numérica de y(t) em pontos igualmente espaçados.

Passo 2

No método de Euler explícito, dado um ponto (t_n,y_n), o próximo valor aproximado y_{n+1} em t_{n+1}=t_n+h é
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde f(t,y)=y(1-y). Aqui h=0,2.

Passo 3

Cálculo de y_1 e y_2:
Para n=0: t_0=0,0, y_0=0,1.
y_1 = y_0 + 0,2\bigl(y_0(1-y_0)\bigr) =0,1 + 0,2\,(0,1\cdot0,9) =0,1 + 0,2\cdot0,09 =0,118.
Para n=1: t_1=0,2, y_1=0,118.
y_2 = y_1 + 0,2\,(y_1(1-y_1)) =0,118 + 0,2\,(0,118\cdot0,882) \approx0,118 + 0,2\cdot0,104076 \approx0,1388.

Passo 4

Cálculo de y_3 e y_4:
Para n=2: t_2=0,4, y_2\approx0,1388.
y_3 = 0,1388 + 0,2\,(0,1388\cdot0,8612) \approx0,1388 + 0,2\cdot0,1196 \approx0,1627.
Para n=3: t_3=0,6, y_3\approx0,1627.
y_4 = 0,1627 + 0,2\,(0,1627\cdot0,8373) \approx0,1627 + 0,2\cdot0,1363 \approx0,1900.

Passo 5

Cálculo de y_5:
Para n=4: t_4=0,8, y_4\approx0,1900.
y_5 = 0,1900 + 0,2\,(0,1900\cdot0,8100) \approx0,1900 + 0,2\cdot0,1539 \approx0,2207.
Aqui t_5=1,0.

Resposta

Os valores aproximados em cada ponto são: t=0,0, y=0,1000 t=0,2, y\approx0,1180 t=0,4, y\approx0,1388 t=0,6, y\approx0,1627 t=0,8, y\approx0,1900 t=1,0, y\approx0,2207

Exercícios relacionados