(Logístico com fator temporal - não linear) Aproxime
y^{\prime}(t)=y(1-y)(1+t), \quad y(0)=0,2
\operatorname{com} h=0,2 até t=1,0.

Passo 1

O problema nos dá o PVI não‐linear do tipo logístico com fator temporal
y'(t)=y(1-y)(1+t),\quad y(0)=0,2,
e pede para aproximar a solução em passos de h=0,2 até t=1,0. Vamos usar o método de Euler explícito, que é um dos métodos numéricos mais simples para EDOs.

Passo 2

O método de Euler explícito diz que, a cada passo n, se t_n e y_n são o tempo e a aproximação em t_n, então
y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n),
onde f(t,y)=y(1-y)(1+t) no nosso caso. Também t_{n+1}=t_n+h.

Passo 3

Inicializamos
t_0=0,\quad y_0=0,2.
  1. Para n=0:
f(0,y_0)=0,2\,(1-0,2)\,(1+0)=0,2\cdot0,8\cdot1=0,16,
y_1=y_0+0,2\cdot0,16=0,2+0,032=0,232.
  1. Para n=1 t_1=0,2, y_1=0,232:
f(0,2,y_1)=0,232\,(1-0,232)\,(1+0,2)=0,232\cdot0,768\cdot1,2\approx0,2138112,
y_2=y_1+0,2\cdot0,2138112\approx0,232+0,0427622=0,2747622.

Passo 4

Repetindo para os próximos pontos:
  1. Para n=2 t_2=0,4, y_2\approx0,2747622:
f(0,4,y_2)\approx0,2747622\,(1-0,2747622)\,(1+0,4)\approx0,2791754,
y_3=y_2+0,2\cdot0,2791754\approx0,2747622+0,0558351=0,3305973.
  1. Para n=3 t_3=0,6, y_3\approx0,3305973:
f(0,6,y_3)\approx0,3305973\,(1-0,3305973)\,(1+0,6)\approx0,3540709,
y_4=y_3+0,2\cdot0,3540709\approx0,3305973+0,0708142=0,4014115.

Passo 5

Por fim, para n=4 t_4=0,8, y_4\approx0,4014115:
f(0,8,y_4)\approx0,4014115\,(1-0,4014115)\,(1+0,8)\approx0,4327895,
y_5=y_4+0,2\cdot0,4327895\approx0,4014115+0,0865579=0,4879694.
Então t_5=1,0 e y_5\approx0,4879694.

Resposta

Aproximações pelo método de Euler explícito com h=0,2: y(0,2)\approx0,2320 y(0,4)\approx0,2748 y(0,6)\approx0,3306 y(0,8)\approx0,4014 y(1,0)\approx0,4880

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