(Riccati simples - não linear) Aproxime
y^{\prime}(t)=y^{2}-t, \quad y(0)=0
\operatorname{com} h=0,2 até t=1,0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati simples
y'(t)=y^{2}-t,
com condição inicial y(0)=0 e pede uma aproximação até t=1{,}0 usando passo h=0{,}2.
O conteúdo matemático aqui é método de Euler explícito para resolver numericamente uma EDO não linear.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,1{,}0] em N=1{,}0/0{,}2=5 subintervalos de comprimento h=0{,}2. Denotamos
t_{n}=n\,h,\quad y_{n}\approx y(t_{n}).
O método de Euler explícito diz
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(t_{n},y_{n}),
onde f(t,y)=y^{2}-t.

Passo 3

Calculamos os dois primeiros passos:
t_{0}=0,\;y_{0}=0,
t_{1}=0{,}2,\quad y_{1} = y_{0}+0{,}2\bigl(y_{0}^{2}-t_{0}\bigr) =0+0{,}2\,(0-0) =0,
t_{2}=0{,}4,\quad y_{2} = y_{1}+0{,}2\bigl(y_{1}^{2}-t_{1}\bigr) =0+0{,}2\,(0-0{,}2) =-0{,}04.

Passo 4

Agora calculamos y_{3} e y_{4}:
t_{3}=0{,}6,\quad y_{3} = y_{2}+0{,}2\bigl(y_{2}^{2}-t_{2}\bigr) =-0{,}04+0{,}2\,(0{,}0016-0{,}4) =-0{,}11968,
t_{4}=0{,}8,\quad y_{4} = y_{3}+0{,}2\bigl(y_{3}^{2}-t_{3}\bigr) \approx -0{,}11968+0{,}2\,(0{,}01432-0{,}6) \approx -0{,}23682.

Passo 5

Por fim, chegamos a t_{5}=1{,}0:
t_{5}=1{,}0,\quad y_{5} = y_{4}+0{,}2\bigl(y_{4}^{2}-t_{4}\bigr) \approx -0{,}23682+0{,}2\,(0{,}05612-0{,}8) \approx -0{,}38559.

Resposta

Os valores aproximados em cada nó são
\begin{aligned} y_{0}&=0,\\\ y_{1}&=0,\\\ y_{2}&=-0{,}04,\\\ y_{3}&\approx -0{,}11968,\\\ y_{4}&\approx -0{,}23682,\\\ y_{5}&\approx -0{,}38559. \end{aligned}

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