Uma loja de conveniência tem uma demanda média de 880 latas de determinada lata de cerveja por semana, com um desvio padrão de 50 . O tempo de atendimento de um pedido ao fornecedor é fixo de dois dias. A loja faz pedidos em intervalos fixos de uma semana, calcular:
a) A quantidade de falta de latas de cerveja esperada durante o tempo de ressuprimento para um nível de serviço de 95 \%. R.1,19 latas
b) O nível de serviço necessário para um número de falta esperado de cinco latas de cerveja. R. \mathbf{8 3 , 1 5 \%}

Passo 1

O enunciado trata de um modelo de revisão periódica em que a loja faz pedidos a cada uma semana e o tempo de ressuprimento (lead time) é de dois dias. A demanda diária é aleatória, mas supomos que na janela de análise (nove dias: sete de revisão mais dois de lead time) ela seja aproximadamente Normal. Vamos precisar de:
  1. Converter média e desvio-padrão semanais em valores para nove dias.
  2. Usar a fórmula do desvio em conjunto de períodos independentes (variações somam).
  3. Usar a função de perda normal para calcular a falta esperada
  4. Para (a) aplicar um nível de serviço dado e para (b) inverter a perda para achar o nível de serviço.

Passo 2

Calcular a média \mu_R e o desvio-padrão \sigma_R da demanda no “risk period” de nove dias.
A média diária é
\frac{880}{7}\\ (\text{latas/dia})
Logo a média em nove dias é
\mu_R = \frac{880}{7}\times 9 = 1131{,}43\text{ latas (aprox.)}.
Como o desvio-padrão semanal é 50, o desvio diário vale \tfrac{50}{\sqrt7} e, para nove dias independentes,
\sigma_R = \frac{50}{\sqrt7}\times\sqrt9 = \frac{150}{\sqrt7} \approx 56{,}68\text{ latas}.

Passo 3

Para calcular a falta esperada E[O] num dado nível de serviço \alpha, usamos a função de perda da Normal:
E[O] \;=\;\sigma_R\;\bigl[\varphi(z) - z\,(1-\Phi(z))\bigr],
onde z = \Phi^{-1}(\alpha), \varphi é a densidade padrão e \Phi a distribuição padrão.

Passo 4

(a) Para nível de serviço \alpha=95\%, temos
z = \Phi^{-1}(0{,}95)=1{,}645, \quad \varphi(1{,}645)\approx0{,}1032, \quad 1-\Phi(1{,}645)=0{,}05.
Logo
E[O] =56{,}68\;\bigl[0{,}1032 - 1{,}645\cdot0{,}05\bigr] =56{,}68\;(0{,}1032-0{,}08225) \approx 1{,}19\text{ latas}.

Passo 5

(b) Agora queremos E[O]=5. Definimos
L(z)=\varphi(z)-z\,(1-\Phi(z)),
e impomos
\sigma_R\,L(z)=5 \;\Longrightarrow\; L(z)=\frac{5}{56{,}68}\approx0{,}08824.
Procuramos em tabelas ou por tentativa o valor de z que satisfaça L(z)=0{,}08824. Testando valores:
  • Em z=0{,}97 obtém-se
    \varphi(0{,}97)\approx0{,}2492,
    1-\Phi(0{,}97)\approx0{,}1660,
    L(0{,}97)=0{,}2492-0{,}97\cdot0{,}1660\approx0{,}0882.
    Logo z\approx0{,}97 e o nível de serviço é
\alpha = \Phi(0{,}97)\approx 0{,}8315 = 83{,}15\%.

Resposta

(a) 1{,}19 latas
(b) 83{,}15\%

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