Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Mostre que se X_{1}, \ldots, X_{k} são v.a.'s independentes tais que X_{i} \sim \operatorname{Exp}(\lambda), i=1, \ldots, k, então X_{1}+\ldots+X_{k} \sim \operatorname{Gama}(k, \lambda).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X_{1},\dots,X_{k} são variáveis independentes com distribuição \operatorname{Exp}(\lambda), então
S = X_{1} + \cdots + X_{k}
tem distribuição \operatorname{Gama}(k,\lambda).
Vamos fazer isso por dois métodos: usando função geradora de momentos (f.g.m.) e usando a distribuição conjunta e convolução.

Passo 2

Método 1 – f.g.m.:
Definimos a função geradora de momentos de uma v.a. Y como
M_{Y}(t) = \mathbb{E}\bigl[e^{tY}\bigr].
Se as X_{i} são independentes, a f.g.m. de S = \sum_{i=1}^{k}X_{i} é o produto das f.g.m. de cada X_{i}.

Passo 3

Calculamos a f.g.m. de X_{i}\sim\operatorname{Exp}(\lambda). Por definição, para t<\lambda:
M_{X_{i}}(t) = \mathbb{E}\bigl[e^{tX_{i}}\bigr] = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} e^{t x}\,dx = \lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda - t)x}\,dx = \frac{\lambda}{\lambda - t}.

Passo 4

Como os X_{i} são independentes,
M_{S}(t) = \prod_{i=1}^{k} M_{X_{i}}(t) = \Bigl(\frac{\lambda}{\lambda - t}\Bigr)^{k}.

Passo 5

Sabemos também que, se Y\sim\operatorname{Gama}(k,\lambda), sua f.g.m. é
M_{Y}(t) = \Bigl(\frac{\lambda}{\lambda - t}\Bigr)^{k}.
Como M_{S}(t)=M_{Y}(t) para todo t<\lambda, concluímos que
S \sim \operatorname{Gama}(k,\lambda).

Passo 6

Método 2 – distribuição conjunta e convolução:
A densidade de cada X_{i} é
f_{X_{i}}(x) = \lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge0.
Queremos a densidade de S_k = X_{1}+\cdots+X_{k}. Usamos convolução iterada ou indução.

Passo 7

Base da indução k=1:
Se k=1, S_{1}=X_{1}\sim\operatorname{Exp}(\lambda), que é \operatorname{Gama}(1,\lambda).
Passo indutivo: suponha que S_{k-1}=X_{1}+\cdots+X_{k-1}\sim\operatorname{Gama}(k-1,\lambda) com densidade
f_{S_{k-1}}(s) = \frac{\lambda^{\,k-1}}{(k-2)!}\,s^{\,k-2}e^{-\lambda s},\quad s\ge0.

Passo 8

Então S_{k} = S_{k-1} + X_{k}. A densidade de S_{k} é a convolução
f_{S_{k}}(t) = \int_{0}^{t} f_{S_{k-1}}(s)\,f_{X_{k}}(t-s)\,ds.
Substituindo as densidades:
f_{S_{k}}(t) = \int_{0}^{t} \frac{\lambda^{\,k-1}}{(k-2)!}\,s^{\,k-2}e^{-\lambda s} \;\cdot\; \lambda e^{-\lambda (t-s)} \,ds.

Passo 9

Fatorando constantes e exponenciais:
f_{S_{k}}(t) = \frac{\lambda^{\,k}}{(k-2)!}\,e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} s^{\,k-2}\,ds = \frac{\lambda^{\,k}}{(k-2)!}\,e^{-\lambda t} \;\frac{t^{\,k-1}}{k-1} = \frac{\lambda^{\,k}}{(k-1)!}\,t^{\,k-1}e^{-\lambda t},
que é exatamente a densidade de \operatorname{Gama}(k,\lambda).

Resposta

Concluímos, pelos dois métodos, que
X_{1}+\cdots+X_{k}\sim\operatorname{Gama}(k,\lambda).

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