Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Mostre que se
são v.a.'s independentes tais que
,
,
, então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são variáveis independentes com distribuição
, então
tem distribuição
.
Vamos fazer isso por dois métodos: usando função geradora de momentos (f.g.m.) e usando a distribuição conjunta e convolução.
Vamos fazer isso por dois métodos: usando função geradora de momentos (f.g.m.) e usando a distribuição conjunta e convolução.
Passo 2
Método 1 – f.g.m.:
Definimos a função geradora de momentos de uma v.a. como
Definimos a função geradora de momentos de uma v.a.
Se as
são independentes, a f.g.m. de
é o produto das f.g.m. de cada
.
Passo 3
Calculamos a f.g.m. de
. Por definição, para
:
Passo 4
Como os
são independentes,
Passo 5
Sabemos também que, se
, sua f.g.m. é
Como
para todo
, concluímos que
Passo 6
Método 2 – distribuição conjunta e convolução:
A densidade de cada é
A densidade de cada
Queremos a densidade de
. Usamos convolução iterada ou indução.
Passo 7
Base da indução
:
Se ,
, que é
.
Se
Passo indutivo: suponha que
com densidade
Passo 8
Então
. A densidade de
é a convolução
Substituindo as densidades:
Passo 9
Fatorando constantes e exponenciais:
que é exatamente a densidade de
.
Resposta
Concluímos, pelos dois métodos, que