Em uma loja de eletrodomésticos, o número de garantias estendidas vendidas por cada atendente em um dia é uma variável aleatória G, com a seguinte distribuição de probabilidades (baseada em dados históricos):
\mathbf{N}^{\mathbf{0}} de garantias vendidas (G) \mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
Probabilidade 0,15 0,25 0,30 0,15 0,10 0,05
Cada atendente recebe um bônus conforme o número de garantias vendidas no dia: Se vender até 2 garantias, recebe \mathrm{R} \ 15,00 por garantia. A partir da3^{\mathrm{a}} garantia em diante, o valor por unidade vendida passa a ser\mathrm{R} $60,00 . Ou seja, para os dois primeiros contratos de garantia vendidos no dia, o atendente recebe\mathrm{R} $ 15,00 por garantia. A partir da3^{\mathrm{a}} garantia vendida em diante, o valor do bônus aumenta paraô\mathrm{R} $60,00$ por cada garantia adicional.
a) (Valor 1,0 pt) Qual é o número médio de garantias estendidas vendidas por atendente por dia? R: 1,95
b) (Valor 1,0 pt) E qual é o valor médio do bônus diário recebido por atendente? R:51,75

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Qual é o número médio de garantias estendidas vendidas por atendente por dia?
  2. Qual é o valor médio do bônus diário recebido por atendente?
Dados fornecidos (tirei diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} G & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline P(G) & 0,15 & 0,25 & 0,30 & 0,15 & 0,10 & 0,05 \end{array}
Regra do bônus (também dada no enunciado):
  • Para as primeiras duas garantias (até a 2ª): \mathrm{R}\$ 15,00 por garantia.
  • A partir da 3ª garantia (da 3ª em diante): \mathrm{R}\$ 60,00 por garantia adicional.

Passo 2

Vamos calcular o número médio de garantias vendidas por atendente por dia. Para uma variável aleatória discreta G com possíveis valores g_i e probabilidades p_i, a média (valor esperado) é
\mathbb{E}[G]=\sum_i g_i\,p_i.
Aqui os g_i são 0,1,2,3,4,5 e as probabilidades estão na tabela. Aplicando a fórmula:

Passo 3

Calculemos termo a termo (cada produto g\cdot P(G=g)):
\begin{aligned} 0\cdot 0,15 &= 0,00,\\\\ 1\cdot 0,25 &= 0,25,\\\\ 2\cdot 0,30 &= 0,60,\\\\ 3\cdot 0,15 &= 0,45,\\\\ 4\cdot 0,10 &= 0,40,\\\\ 5\cdot 0,05 &= 0,25. \end{aligned}
Somando:
\mathbb{E}[G]=0,00+0,25+0,60+0,45+0,40+0,25=1,95.
Interpretação rápida: em média cada atendente vende 1,95 garantias por dia (ou cerca de 2 garantias).

Passo 4

Agora vamos ao bônus diário. Definimos a função bônus B(G) em reais dependendo de G:
  • Se G=0,1,2: cada garantia paga \mathrm{R}\$ 15,00, logo B(G)=15,00\cdot G.
  • Se G\ge 3: as duas primeiras valem \mathrm{R}\$15,00 cada (total \mathrm{R}\$ 30,00) e as restantes (a partir da 3ª) valem \mathrm{R}\$ 60,00 cada. Para um G dado,
B(G)=30,00+60,00\cdot(G-2).
Para simplificar em cálculo manual podemos tabular B(G) para cada G de 0 a 5.

Passo 5

Computando B(G) para cada valor (mostro as contas):
\begin{aligned} B(0)&=15,00\cdot 0=0,00,\\\ B(1)&=15,00\cdot 1=15,00,\\\ B(2)&=15,00\cdot 2=30,00,\\\ B(3)&=30,00+60,00\cdot(3-2)=30,00+60,00=90,00,\\\ B(4)&=30,00+60,00\cdot(4-2)=30,00+120,00=150,00,\\\ B(5)&=30,00+60,00\cdot(5-2)=30,00+180,00=210,00. \end{aligned}

Passo 6

Para achar o valor médio do bônus usamos o valor esperado de B(G):
\mathbb{E}[B]=\sum_{g=0}^{5} B(g)\,P(G=g).
Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} 0,00\cdot 0,15 &= 0,00,\\\\ 15,00\cdot 0,25 &= 3,75,\\\\ 30,00\cdot 0,30 &= 9,00,\\\\ 90,00\cdot 0,15 &= 13,50,\\\\ 150,00\cdot 0,10 &= 15,00,\\\\ 210,00\cdot 0,05 &= 10,50. \end{aligned}
Somando todos os termos:
\mathbb{E}[B]=0,00+3,75+9,00+13,50+15,00+10,50=51,75.
Interpretação: o atendente recebe, em média, \mathrm{R}\$ 51,75 de bônus por dia.

Passo 7

Resumo do método para usar na prova (dicas rápidas que ajudam):
  • Para média de uma variável discreta: some cada valor vezes sua probabilidade.
  • Para função de recompensa (aqui o bônus) primeiro escreva B(g) para cada g ou ache uma fórmula e depois aplique \mathbb{E}[B]=\sum B(g)P(G=g).
  • Fazer a tabela com g, P(G=g), B(g) e B(g)P(G=g) facilita muito e evita erro de sinais ou de conta.

Resposta

1,95
\mathrm{R}\$ 51,75

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