Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista com 30 \% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutida nas vendas a prazo?

Passo 1

O enunciado dá duas opções de pagamento para o mesmo produto e pergunta “qual a taxa mensal dos juros embutida nas vendas a prazo”. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Pagamento à vista com desconto de 30\%.
  • Pagamento em duas prestações mensais iguais, sem desconto, sendo a primeira prestação paga no ato da compra (ou seja, uma prestação em t=0 e outra em t=1 mês).
    O que se pede: determinar a taxa de juros mensal i que torna equivalentes, em valor presente, essas duas formas de pagamento.

Passo 2

Vamos colocar variáveis para organizar as contas:
  • Seja P o preço cheio (preço sem desconto) do produto.
  • Pagamento à vista (opção i): paga-se imediatamente o valor com 30\% de desconto, ou seja (1-0{,}30)P = 0{,}70P.
  • Pagamento em duas prestações iguais (opção ii): duas parcelas de valor \dfrac{P}{2}, uma em t=0 e outra em t=1 mês.
  • Seja i a taxa de juros mensal embutida que queremos descobrir.

Passo 3

Conceito necessário (explicado de forma simples): o valor do dinheiro no tempo. Uma quantia paga no futuro vale menos hoje; para comparar pagamentos em instantes diferentes usamos o valor presente (PV). A fórmula básica para trazer uma quantia futura para o presente é:
\text{PV de uma quantia }F\text{ paga em }n\text{ meses} = \frac{F}{(1+i)^{n}},
onde i é a taxa de juros mensal e n é o número de meses até o pagamento. Aqui temos uma parcela em t=0 (que já é valor presente) e outra em t=1 (que precisa ser descontada por um mês).

Passo 4

Escrevemos a equação que iguala o valor presente das duas prestações ao preço à vista com desconto (essas são equivalentes economicamente se o consumidor está indiferente entre as opções):
A PV das prestações é
\text{PV}_{\text{prestações}} = \frac{P}{2} + \frac{P/2}{1+i}.çõ
O preço à vista com desconto é
\text{PV}_{\text{à vista}} = 0{,}70P.à
Igualando as duas:
0{,}70P = \frac{P}{2} + \frac{P/2}{1+i}.

Passo 5

Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por P (como P>0, isso é válido):
0{,}70 = 0{,}5 + \frac{0{,}5}{1+i}.
Subtraindo 0{,}5 de ambos os lados:
0{,}20 = \frac{0{,}5}{1+i}.
Agora isolamos 1+i:
1+i = \frac{0{,}5}{0{,}20}.
Calculando o quociente:
1+i = 2{,}5.
Logo
i = 2{,}5 - 1 = 1{,}5.

Passo 6

Interpretando o resultado: i=1{,}5 significa uma taxa de juros mensal de 1{,}5 em forma decimal, ou seja 150\% ao mês. Vamos checar com um exemplo numérico rápido (para ver que bate):
  • Suponha P=1000. À vista com 30\% de desconto: paga-se 0{,}70\cdot 1000 = 700.
  • Em duas prestações: paga-se 500 agora e 500 daqui a 1 mês. Com i=150\%, o fator (1+i)=2{,}5, então o PV da segunda parcela é 500/2{,}5=200. PV total = 500+200=700. Confere com o à vista.

Passo 7

Conclusão didática rápida: a razão para a taxa ser tão alta é que, comparado ao pagamento à vista com grande desconto ( 30\%), o parcelamento mantém metade do preço para pagamento futuro; para igualar o desconto grande do pagamento à vista, a taxa implícita sobre a parcela futura precisa ser muito elevada.

Resposta

150\% ao mês

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