Uma loja oferece duas opções de pagamento:
i) à vista com
de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutida nas vendas a prazo?
i) à vista com
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra.
Passo 1
O enunciado dá duas opções de pagamento para o mesmo produto e pergunta “qual a taxa mensal dos juros embutida nas vendas a prazo”. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Pagamento à vista com desconto de
. - Pagamento em duas prestações mensais iguais, sem desconto, sendo a primeira prestação paga no ato da compra (ou seja, uma prestação em
e outra em mês).
O que se pede: determinar a taxa de juros mensalque torna equivalentes, em valor presente, essas duas formas de pagamento.
Passo 2
Vamos colocar variáveis para organizar as contas:
- Seja
o preço cheio (preço sem desconto) do produto. - Pagamento à vista (opção i): paga-se imediatamente o valor com
de desconto, ou seja . - Pagamento em duas prestações iguais (opção ii): duas parcelas de valor
, uma em e outra em mês. - Seja
a taxa de juros mensal embutida que queremos descobrir.
Passo 3
Conceito necessário (explicado de forma simples): o valor do dinheiro no tempo. Uma quantia paga no futuro vale menos hoje; para comparar pagamentos em instantes diferentes usamos o valor presente (PV). A fórmula básica para trazer uma quantia futura para o presente é:
onde
é a taxa de juros mensal e
é o número de meses até o pagamento. Aqui temos uma parcela em
(que já é valor presente) e outra em
(que precisa ser descontada por um mês).
Passo 4
Escrevemos a equação que iguala o valor presente das duas prestações ao preço à vista com desconto (essas são equivalentes economicamente se o consumidor está indiferente entre as opções):
A PV das prestações é
A PV das prestações é
O preço à vista com desconto é
Igualando as duas:
Passo 5
Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por
(como
, isso é válido):
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora isolamos
:
Calculando o quociente:
Logo
Passo 6
Interpretando o resultado:
significa uma taxa de juros mensal de
em forma decimal, ou seja
ao mês. Vamos checar com um exemplo numérico rápido (para ver que bate):
- Suponha
. À vista com de desconto: paga-se . - Em duas prestações: paga-se
agora e daqui a 1 mês. Com , o fator , então o PV da segunda parcela é . PV total = . Confere com o à vista.
Passo 7
Conclusão didática rápida: a razão para a taxa ser tão alta é que, comparado ao pagamento à vista com grande desconto (
), o parcelamento mantém metade do preço para pagamento futuro; para igualar o desconto grande do pagamento à vista, a taxa implícita sobre a parcela futura precisa ser muito elevada.