Um cliente foi a um banco tomar um empréstimo de 100 mil reais, no regime de juros compostos, a serem pagos após 3 meses por meio de um único pagamento. Para conseguir o dinheiro, foram apresentadas as seguintes condições:
I - taxa de juros de
ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior; II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais.
Ao fazer a simulação, o gerente informou que o valor total de quitação após os 3 meses seria de 117.500 reais. O valor mais próximo do custo real efetivo mensal, ou seja, a taxa mensal equivalente desse empréstimo, comparando o que pegou com o que pagou, é de ?
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a taxa efetiva mensal
(ou seja, a taxa mensal equivalente) do empréstimo, comparando o que o cliente pegou com o que vai pagar.
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
- Valor tomado (valor atual, PV):
reais. - Valor pago ao final de 3 meses (valor futuro, FV):
reais (o gerente informou esse total). - Prazo:
meses.
Portanto a pergunta é: qual a taxa mensalque transforma em em meses no regime de juros compostos?
Passo 2
Fórmula fundamental de juros compostos (a que usamos aqui):
Explicando cada símbolo com calma:
é o “valor presente” ou quanto o cliente recebeu hoje (aqui
).
é o “valor futuro” ou quanto será pago no fim do prazo (aqui
).
é a taxa efetiva por período (queremos
, por mês).
é o número de períodos (aqui
).
A interpretação: cada mês o saldo cresce multiplicando por ; após
meses multiplica-se
vezes, daí
.
A interpretação: cada mês o saldo cresce multiplicando por
Passo 3
Isolar
na fórmula: dividir ambos os lados por
e tirar a raíz de ordem
:
Isto é, a taxa mensal é a raiz
-ésima da razão
menos
. Para nosso caso
.
Passo 4
Substituindo os números:
Logo
Agora precisamos calcular a raiz cúbica de
. Vou fazer isso de forma prática, sem fórmulas complexas, por tentativas refinadas (método que dá para aplicar numa prova se não tiver calculadora).
Passo 5
Tentativas e refinamento para achar
:
- Teste com
( ao mês):
- Teste com
( ao mês):
Calcule passo a passo:
Isso já está muito próximo de
, mas ligeiramente menor.
- Teste com
( ao mês):
Calcule aproximadamente:
Como
(abaixo) e
(acima), a raiz cúbica desejada está entre
e
. Podemos interpolar linearmente para refinar:
Diferença entre os cubos:
Quanto falta a
para chegar a
:
Fraçao aproximada da distância:
Interpolando entre
e
:
Assim a raiz cúbica é aproximadamente
, então
Passo 6
Arredondando para uma apresentação usual e considerando que a pergunta pede o valor mais próximo, podemos dar a taxa com duas casas decimais:
Você pode checar:
, muito próximo de
, então
é a resposta pratica e segura.