Um cliente foi a um banco tomar um empréstimo de 100 mil reais, no regime de juros compostos, a serem pagos após 3 meses por meio de um único pagamento. Para conseguir o dinheiro, foram apresentadas as seguintes condições:
I - taxa de juros de 5 \% ao mês, incidindo sobre o saldo devedor acumulado do mês anterior; II - impostos mais taxas que poderão ser financiados juntamente com os 100 mil reais.
Ao fazer a simulação, o gerente informou que o valor total de quitação após os 3 meses seria de 117.500 reais. O valor mais próximo do custo real efetivo mensal, ou seja, a taxa mensal equivalente desse empréstimo, comparando o que pegou com o que pagou, é de ?

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a taxa efetiva mensal i (ou seja, a taxa mensal equivalente) do empréstimo, comparando o que o cliente pegou com o que vai pagar.
Informações dadas pelo enunciado:
  • Valor tomado (valor atual, PV): 100000 reais.
  • Valor pago ao final de 3 meses (valor futuro, FV): 117500 reais (o gerente informou esse total).
  • Prazo: n=3 meses.

    Portanto a pergunta é: qual a taxa mensal i que transforma 100000 em 117500 em 3 meses no regime de juros compostos?

Passo 2

Fórmula fundamental de juros compostos (a que usamos aqui):
FV = PV \cdot (1+i)^n
Explicando cada símbolo com calma:
PV é o “valor presente” ou quanto o cliente recebeu hoje (aqui PV=100000).
FV é o “valor futuro” ou quanto será pago no fim do prazo (aqui FV=117500).
i é a taxa efetiva por período (queremos i, por mês).
n é o número de períodos (aqui n=3).
A interpretação: cada mês o saldo cresce multiplicando por 1+i; após n meses multiplica-se n vezes, daí (1+i)^n.

Passo 3

Isolar i na fórmula: dividir ambos os lados por PV e tirar a raíz de ordem n:
\frac{FV}{PV} = (1+i)^n
1+i = \left(\frac{FV}{PV}\right)^{1/n}
i = \left(\frac{FV}{PV}\right)^{1/n} - 1
Isto é, a taxa mensal é a raiz n-ésima da razão FV/PV menos 1. Para nosso caso n=3.

Passo 4

Substituindo os números:
\frac{FV}{PV}=\frac{117500}{100000}=1{,}175
Logo
i = (1{,}175)^{1/3}-1.
Agora precisamos calcular a raiz cúbica de 1{,}175. Vou fazer isso de forma prática, sem fórmulas complexas, por tentativas refinadas (método que dá para aplicar numa prova se não tiver calculadora).

Passo 5

Tentativas e refinamento para achar (1{,}175)^{1/3}:
  1. Teste com i=5\% ( 1{,}05 ao mês):
1{,}05^3 = 1{,}157625 \quad(\text{ainda menor que }1{,}175).
  1. Teste com i=5{,}5\% ( 1{,}055 ao mês):
    Calcule passo a passo:
1{,}055^2 = 1{,}113025
1{,}055^3 = 1{,}113025 \times 1{,}055 = 1{,}174241375.
Isso já está muito próximo de 1{,}175, mas ligeiramente menor.
  1. Teste com i=5{,}53\% ( 1{,}0553 ao mês):
    Calcule aproximadamente:
1{,}0553^2 \approx 1{,}11365808
1{,}0553^3 \approx 1{,}175205\quad(\text{um pouco maior que }1{,}175).
Como 1{,}055^3=1{,}174241 (abaixo) e 1{,}0553^3=1{,}175205 (acima), a raiz cúbica desejada está entre 1{,}055 e 1{,}0553. Podemos interpolar linearmente para refinar:
Diferença entre os cubos:
1{,}175205-1{,}174241 = 0{,}000964.
Quanto falta a 1{,}174241 para chegar a 1{,}175:
1{,}175-1{,}174241 = 0{,}000759.
Fraçao aproximada da distância:
\frac{0{,}000759}{0{,}000964}\approx 0{,}787.
Interpolando entre 1{,}055 e 1{,}0553:
1{,}055 + 0{,}0003\times 0{,}787 \approx 1{,}055236.
Assim a raiz cúbica é aproximadamente 1{,}05524, então
i \approx 1{,}05524 - 1 = 0{,}05524 \text{ (que é }5{,}524\%\text{ ao mês).}éê

Passo 6

Arredondando para uma apresentação usual e considerando que a pergunta pede o valor mais próximo, podemos dar a taxa com duas casas decimais:
i \approx 5{,}53\% \text{ ao mês.}ê
Você pode checar: 1{,}0553^3 \approx 1{,}175205, muito próximo de 1{,}175, então 5{,}53\% é a resposta pratica e segura.

Resposta

5{,}53\% ao mês

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