Uma loja de roupas vende dois tipos de blusas semelhantes, mas de fabricação diferente. O custo de armazenagem do primeiro tipo é de R$ 40,00 e o do segundo é de R$ 50,00. Determinou-se pela experiência que se o preço de venda do primeiro tipo é de 40,00 e o do segundo é de R reais e o do segundo é de x reais, então o número de blusas vendidas mensalmente do primeiro tipo é y; enquanto o número vendido mensalmente do segundo tipo é 3200-50 x+25 y. Qual deve ser o preço de venda de cada tipo de blusa, tendo em vista o maior lucro bruto possível?

Passo 1

O enunciado diz que vendemos dois tipos de blusas com preço de venda x e y, demandas mensais dadas por Q1=3200-50x+25y e Q2=25x-25y, e custos unitários de R$ 40 e R$ 50. Precisamos montar a função de lucro bruto 40 e R e maximizá-la.

Passo 2

O lucro bruto é receita menos custo: para o tipo 1 temos margem (x-40) vezes Q1 e para o tipo 2 margem (y-50) vezes Q2. Logo,
Pi(x,y)=(x-40)(3200-50x+25y)+(y-50)(25x-25y)

Passo 3

Para achar o candidato a máximo, derivamos em relação a x e y, igualamos a zero:
partialPipartial x=-100x+50y+3950=0, partialPipartial y=-50y+50x+250=0

Passo 4

Resolvendo dá x=84 e y=89, mas aí Q2=25(84-89)=-125, ou seja, demanda negativa não faz sentido. Impomos Q2>=0, isto é x>= y.

Passo 5

Na região viável o máximo aparece na fronteira x=y=t. Substituindo em Pi sobra
Pi(t,t)=(t-40)(3200-25t)=-25t^2+4200t-128000,

Passo 6

derivando em t e igualando a zero vem t=84.

Resposta

O preço ótimo de venda para cada tipo é R$ 84,00.

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