Consideremos o elipsoide
Queremos inscrever nesta superfície um paralelepípedo retângulo com faces paralelas aos planos coordenados. Qual é o máximo volume possível deste paralelepípedo?
Passo 1
O problema nos dá o elipsoide
e quer inscrever nele um paralelepípedo retângulo com faces paralelas aos planos coordenados. Vamos usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) para maximizar o volume desse paralelepípedo.
Passo 2
Por simetria, basta olhar o vértice mais distante no primeiro octante, com coordenadas
, onde
. O paralelepípedo terá arestas de comprimento
,
e
, logo seu volume é
e a restrição é
Passo 3
Formulamos a condição de Lagrange: maximizar
com
. As equações
dão:
Passo 4
Dividindo as equações para eliminar
obtemos relações entre as variáveis: de
vem
, i.e.
; e de
vem
, i.e.
.
Passo 5
Substituindo
e
na restrição:
logo
,
e
. Finalmente,