Consideremos o elipsoide
x^2+y^2 / 4+z^2 / 9=1
Queremos inscrever nesta superfície um paralelepípedo retângulo com faces paralelas aos planos coordenados. Qual é o máximo volume possível deste paralelepípedo?

Passo 1

O problema nos dá o elipsoide
x^2+y^24+z^29=1
e quer inscrever nele um paralelepípedo retângulo com faces paralelas aos planos coordenados. Vamos usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) para maximizar o volume desse paralelepípedo.

Passo 2

Por simetria, basta olhar o vértice mais distante no primeiro octante, com coordenadas (x,y,z), onde x,y,z>=0. O paralelepípedo terá arestas de comprimento 2x, 2y e 2z, logo seu volume é
V=8xyz
e a restrição é
g(x,y,z)=x^2+y^24+z^29-1=0

Passo 3

Formulamos a condição de Lagrange: maximizar f(x,y,z)=xyz com g=0. As equações nabla f=lambdanabla g dão:
yz=lambda,2x, xz=lambda,y2, xy=lambda,2z9

Passo 4

Dividindo as equações para eliminar lambda obtemos relações entre as variáveis: de
yz/(2x)=xzcdot4/y vem y^2=8x^2, i.e. y=2raiz2,x; e de
yz/(2x)=9xy/(2z) vem z^2=9x^2, i.e. z=3x.

Passo 5

Substituindo y=2raiz2,x e z=3x na restrição:
x^2+(2raiz2,x)^24+(3x)^29=x^2+2x^2+x^2=4x^2=1
logo x=tfrac12, y=raiz2 e z=tfrac32. Finalmente,
Vmax=8xyz=8cdot12cdotraiz2cdot32=6raiz2

Resposta

6raiz2

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