Dada a superfície z=-x^{2}-y^{2}+6 x-4 y-4, determine:
(a) a equação do plano tangente a esta superfície no ponto P(3,-2,9);
(b) a classificação do ponto P(3,-2,9), se possível, como extremo da superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=-x^{2}-y^{2}+6 x-4 y-4 e o ponto P(3,-2,9). Ele pede duas coisas:
  1. (a) A equação do plano tangente à superfície em P.
  2. (b) A classificação do ponto P — isto é, se P é um extremo local (máximo, mínimo) ou não, e, se possível, se é extremo global.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície está dada explicitamente por z=f(x,y) onde f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+6x-4y-4.
  • O ponto de interesse é P(3,-2,9), e o enunciado já fornece a coordenada z=9 no ponto (vamos verificar consistência durante a resolução).

Passo 2

Como primeiro passo prático: vamos explicar a fórmula do plano tangente e o que são derivadas parciais, porque isso será usado para (a).
  • Se z=f(x,y) é uma função de duas variáveis, o plano tangente a f em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é dado pela fórmula de aproximação linear (primeira ordem):
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície quando mudamos x mantendo y fixo.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação quando mudamos y mantendo x fixo.
  • f(x_0,y_0) é o valor da função no ponto, que será a ordenada z_0 do ponto de tangência.
    Essa fórmula é a linearização de f em torno do ponto e dá o plano que melhor aproxima a superfície perto do ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+6x-4y-4 termo a termo.
  • Derivada parcial em relação a x:
    • Derivada de -x^2 em relação a x é -2x.
    • Derivada de -y^2 é 0 (é constante em x).
    • Derivada de 6x é 6.
    • Derivada de -4y é 0.
    • Derivada de -4 é 0.
      Logo,
f_x(x,y) = -2x + 6.
  • Derivada parcial em relação a y:
    • Derivada de -x^2 é 0.
    • Derivada de -y^2 é -2y.
    • Derivada de 6x é 0.
    • Derivada de -4y é -4.
    • Derivada de -4 é 0.
      Logo,
f_y(x,y) = -2y - 4.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0)=(3,-2).
  • Avaliando f_x:
f_x(3,-2) = -2\cdot 3 + 6 = -6 + 6 = 0.
  • Avaliando f_y:
f_y(3,-2) = -2\cdot(-2) - 4 = 4 - 4 = 0.
Portanto, ambas as derivadas parciais são iguais a zero no ponto — isso significa que o gradiente \nabla f(3,-2) = (0,0). Esse fato serve para duas coisas: (i) os coeficientes das variações lineares no plano tangente são zero; (ii) o ponto é um ponto crítico, então podemos tentar classificar como extremo usando as segundas derivadas.

Passo 5

Usamos a fórmula do plano tangente com os valores calculados. A fórmula é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo x_0=3, y_0=-2, f(3,-2)=9 (fornecido pelo enunciado; podemos também checar: f(3,-2)=-3^2-(-2)^2+6\cdot3-4\cdot(-2)-4=-9-4+18+8-4=9, consistente) e f_x(3,-2)=0, f_y(3,-2)=0, obtemos:
z = 9 + 0\cdot(x-3) + 0\cdot(y+2).
Portanto o plano tangente é simplesmente
z = 9.
Interpretação intuitiva: como as derivadas parciais são zero, a superfície tem inclinação nula nas direções x e y naquele ponto — o plano tangente é horizontal.

Passo 6

Agora vamos classificar o ponto P. Primeiro explico o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis (a forma prática que vamos usar):
  • Calculam-se as segundas derivadas:
    • f_{xx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
    • f_{yy} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
    • f_{xy} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} (que é igual a f_{yx} se f for suficientemente suave).
  • Define-se o discriminante (determinante da Hessiana) em (x_0,y_0):
D = f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0) - \bigl(f_{xy}(x_0,y_0)\bigr)^2.
Regra de classificação:
  • Se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0 então f tem um mínimo local em (x_0,y_0).
  • Se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0 então f tem um máximo local em (x_0,y_0).
  • Se D<0 então é um ponto de sela (não é extremo).
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Esse teste é o análogo do teste da segunda derivada em uma variável, mas adaptado para duas variáveis.

Passo 7

Calculemos as segundas derivadas de f(x,y).
  • A partir de f_x(x,y) = -2x + 6, derivando em x:
f_{xx}(x,y) = -2.
  • A partir de f_y(x,y) = -2y - 4, derivando em y:
f_{yy}(x,y) = -2.
  • Derivando f_x em y (ou f_y em x):
f_{xy}(x,y) = 0.
Esses valores são constantes (não dependem de (x,y)). Agora o discriminante em (3,-2) é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)\cdot(-2) - 0^{2} = 4.
Temos D=4>0 e f_{xx}=-2<0. Pelas regras do passo anterior, isso implica que f tem um máximo local em (3,-2).

Passo 8

Podemos, além disso, dar um argumento direto e até mais forte: completar quadrados para ver a forma da superfície e decidir se o máximo é global.
Partimos de
f(x,y) = -x^{2}-y^{2}+6x-4y-4.
Agrupando e completando quadrados:
f(x,y) = -\bigl(x^{2}-6x\bigr) - \bigl(y^{2}+4y\bigr) -4.
Completa-se o quadrado em cada parêntese:
x^{2}-6x = (x-3)^{2} - 9,\qquad y^{2}+4y = (y+2)^{2} - 4.
Substituindo:
f(x,y) = -\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) - \bigl((y+2)^{2}-4\bigr) -4.
Distribuindo os sinais:
f(x,y) = - (x-3)^{2} +9 - (y+2)^{2} +4 -4.
Somando constantes:
f(x,y) = 9 - (x-3)^{2} - (y+2)^{2}.
Dessa forma fica cristalino: f(x,y) é 9 menos uma soma de quadrados não-negativos, então f(x,y)\le 9 para todos (x,y), e a igualdade só ocorre quando (x-3)^{2}=0 e (y+2)^{2}=0, i.e. em (x,y)=(3,-2).
Portanto o ponto (3,-2) não é só um máximo local: é o único ponto onde a função atinge o valor máximo 9, logo é também um máximo global.

Resposta

Plano tangente: z=9
Classificação do ponto P(3,-2,9): máximo local e máximo global (valor máximo 9).

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