Dada a superfície
, determine:
(a) a equação do plano tangente a esta superfície no ponto
;
(b) a classificação do ponto
, se possível, como extremo da superfície.
(a) a equação do plano tangente a esta superfície no ponto
(b) a classificação do ponto
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto
. Ele pede duas coisas:
- (a) A equação do plano tangente à superfície em
. - (b) A classificação do ponto
— isto é, se é um extremo local (máximo, mínimo) ou não, e, se possível, se é extremo global.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície está dada explicitamente por
onde . - O ponto de interesse é
, e o enunciado já fornece a coordenada no ponto (vamos verificar consistência durante a resolução).
Passo 2
Como primeiro passo prático: vamos explicar a fórmula do plano tangente e o que são derivadas parciais, porque isso será usado para (a).
- Se
é uma função de duas variáveis, o plano tangente a em é dado pela fórmula de aproximação linear (primeira ordem):
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície quando mudamos mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação quando mudamos mantendo fixo. -
é o valor da função no ponto, que será a ordenada do ponto de tangência.
Essa fórmula é a linearização deem torno do ponto e dá o plano que melhor aproxima a superfície perto do ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
termo a termo.
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é (é constante em ). - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo,
- Derivada de
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo,
- Derivada de
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto
.
- Avaliando
:
- Avaliando
:
Portanto, ambas as derivadas parciais são iguais a zero no ponto — isso significa que o gradiente
. Esse fato serve para duas coisas: (i) os coeficientes das variações lineares no plano tangente são zero; (ii) o ponto é um ponto crítico, então podemos tentar classificar como extremo usando as segundas derivadas.
Passo 5
Usamos a fórmula do plano tangente com os valores calculados. A fórmula é
Substituindo
,
,
(fornecido pelo enunciado; podemos também checar:
, consistente) e
,
, obtemos:
Portanto o plano tangente é simplesmente
Interpretação intuitiva: como as derivadas parciais são zero, a superfície tem inclinação nula nas direções
e
naquele ponto — o plano tangente é horizontal.
Passo 6
Agora vamos classificar o ponto
. Primeiro explico o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis (a forma prática que vamos usar):
- Calculam-se as segundas derivadas:
-
. -
. -
(que é igual a se for suficientemente suave).
-
- Define-se o discriminante (determinante da Hessiana) em
:
Regra de classificação:
- Se
e então tem um mínimo local em . - Se
e então tem um máximo local em . - Se
então é um ponto de sela (não é extremo). - Se
o teste é inconclusivo.
Esse teste é o análogo do teste da segunda derivada em uma variável, mas adaptado para duas variáveis.
Passo 7
Calculemos as segundas derivadas de
.
- A partir de
, derivando em :
- A partir de
, derivando em :
- Derivando
em (ou em ):
Esses valores são constantes (não dependem de
). Agora o discriminante em
é
Temos
e
. Pelas regras do passo anterior, isso implica que
tem um máximo local em
.
Passo 8
Podemos, além disso, dar um argumento direto e até mais forte: completar quadrados para ver a forma da superfície e decidir se o máximo é global.
Partimos de
Agrupando e completando quadrados:
Completa-se o quadrado em cada parêntese:
Substituindo:
Distribuindo os sinais:
Somando constantes:
Dessa forma fica cristalino:
é
menos uma soma de quadrados não-negativos, então
para todos
, e a igualdade só ocorre quando
e
, i.e. em
.
Portanto o ponto
não é só um máximo local: é o único ponto onde a função atinge o valor máximo
, logo é também um máximo global.
Resposta
Plano tangente:
Classificação do ponto
: máximo local e máximo global (valor máximo
).