Considere a função de duas variáveis dada por f(x, y)=2 \sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-1}.
(a) Determine e represente geometricamente o domínio de f(x, y).
(b) Usando diferenciais encontre uma aproximação para f(1.98,3.3).
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis f(x,y)=2\sqrt{x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}-1} e pede duas coisas:
(a) Determinar e representar geometricamente o domínio de f.
(b) Usando diferenciais, encontrar uma aproximação para f(1,98,3,3).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
f(x,y)=2\sqrt{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-1}.
A função envolve uma raiz quadrada; portanto, a expressão dentro da raiz precisa ser definida e real para que f exista (ou seja, o argumento da raiz deve ser maior ou igual a zero). Não há outras restrições explícitas.
Passo 2
Condicional do domínio: para que f(x,y) esteja definida, o argumento da raiz deve satisfazer
x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-1 \ge 0.
Essa é a única condição. Vamos manipulá-la algebricamente para ver a forma geométrica:
x^{2}+\frac{y^{2}}{9}\ge 1.
Dividindo ambos os lados por 1 (só para deixar na forma padrão), podemos escrever
\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}\ge 1.
Essa forma lembra imediatamente a equação padrão de uma elipse, cuja igualdade descreve a fronteira.
Passo 3
Interpretação geométrica do que encontramos:
A igualdade\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1é a elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal a=1 e semi-eixo vertical b=3.
A desigualdade\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}\ge 1corresponde ao conjunto de pontos que estão sobre essa elipse ou fora dela (a região exterior), porque para pontos dentro da elipse a soma seria menor que 1, e para pontos na fronteira ou fora a soma é \ge 1.
Conclusão geométrica: o domínio é a região externa à elipse x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}=1, incluindo a própria fronteira.
Passo 4
Para a aproximação por diferenciais em (b) precisamos escolher um ponto (a,b) próximo de (1,98,3,3) onde o cálculo seja simples e que pertença ao domínio. Uma boa escolha é (a,b)=(2,3) porque:
Está muito próximo de (1,98,3,3): as variações são pequenas (\Delta x=1,98-2=-0,02 e \Delta y=3,3-3=0,3);
Está no domínio: vamos verificar rapidamente o argumento da raiz em (2,3):x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-1 \bigg|_{(2,3)} = 4+\frac{9}{9}-1 =4+1-1=4,que é positivo e dá \sqrt{4}=2, o que simplifica f(2,3)=2\cdot 2=4.
Assim temos um ponto-base simples para linearização.
Passo 5
Relembrando a ideia das diferenciais / linearização (pequena aula):
A aproximação linear (primeira ordem) de f em torno de (a,b) éL(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Essa é a mesma coisa que usar o diferencialdf=f_x\,dx+f_y\,dy,com dx=x-a e dy=y-b. Esse procedimento é válido quando dx e dy são pequenos, e fornece uma aproximação rápida sem calcular a função exata.
Precisamos então das derivadas parciais de f. Definag(x,y)=x^{2}+\frac{y^{2}}{9}-1,de modo que f(x,y)=2\sqrt{g(x,y)}. A regra da cadeia dá, em forma geral,f_x=\frac{g_x}{\sqrt{g}},\qquad f_y=\frac{g_y}{\sqrt{g}},porque a derivada de 2\sqrt{g} em relação a g é \dfrac{2}{2\sqrt{g}}=\dfrac{1}{\sqrt{g}} e então multiplicamos por g_x ou g_y.
Calcule g_x e g_y:g_x=2x,\qquad g_y=\frac{2y}{9}.Logo as derivadas parciais de f sãof_x(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}-1}},\qquad f_y(x,y)=\frac{2y}{9\sqrt{x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}-1}}.
Passo 6
Avaliação das derivadas parciais em (a,b)=(2,3):
Primeiro já vimos que em (2,3) temos g(2,3)=4 e \sqrt{g(2,3)}=2.
Construção da aproximação linear e cálculo numérico:
Use dx=1,98-2=-0,02 e dy=3,3-3=0,3.
A variação aproximada é\Delta f \approx f_x(2,3)\,dx+f_y(2,3)\,dy = 2\cdot(-0,02)+\frac{1}{3}\cdot 0,3.Calcule cada termo:2\cdot(-0,02)=-0,04,\qquad \frac{1}{3}\cdot 0,3=0,1.Assim\Delta f \approx -0,04+0,1=0,06.
Logo a aproximação para f(1,98,3,3) éf(1,98,3,3)\approx f(2,3)+\Delta f =4+0,06=4,06.
Passo 8
Comentário rápido de confiança: como \Delta x e \Delta y são pequenos, a aproximação linear deve ser boa. Se você quisesse um controle de erro mais rigoroso teria que usar termos de ordem dois (hessiana), mas para a maioria das provas essa aproximação por diferenciais é suficiente e direta.
Resposta
(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}\ge 1\}, ou seja, a região exterior (e a fronteira) da elipse \dfrac{x^{2}}{1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1 (semi-eixos 1 e 3).\n(b) f(1,98,3,3)\approx 4,06