Uma loja vende três tipos diferentes de aparelhos de DVD (A, B e C). A venda da marca A (mais barata) representa 50 % de todas as vendas, enquanto as demais representam 25 % cada. Sabe-se também que a marca de DVD A, apresenta 5 % de defeito no tempo de garantia, enquanto as marcas B e C apresentam 2 % e 1 %, respectivamente.
(b) Se um comprador precisou de reparo na garantia, qual a probabilidade de seu aparelho DVD ser da marca A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui que envolve diferentes marcas de aparelhos de DVD e suas taxas de defeito. A ideia é descobrir a chance de, se um aparelho precisou de reparo na garantia, ele ser da marca A. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. Ou seja, queremos saber a probabilidade de o aparelho ser da marca A, dado que ele apresentou defeito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que a gente já conhece:
  • Probabilidade de um aparelho ser da marca A (P(A)): 50%, ou seja, 0,50.
  • Probabilidade de um aparelho ser da marca B (P(B)): 25%, ou 0,25.
  • Probabilidade de um aparelho ser da marca C (P©): 25%, ou 0,25.
Também sabemos as taxas de defeito para cada marca:
  • Probabilidade de defeito dado que é marca A (P(D|A)): 5%, ou 0,05.
  • Probabilidade de defeito dado que é marca B (P(D|B)): 2%, ou 0,02.
  • Probabilidade de defeito dado que é marca C (P(D|C)): 1%, ou 0,01.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade total de um aparelho apresentar defeito (P(D)). Isso inclui as possibilidades de defeito em qualquer uma das marcas. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
P(D) = P(D|A) times P(A) + P(D|B) times P(B) + P(D|C) times P(C)
Vamos substituir os valores:
P(D) = (0,05 times 0,50) + (0,02 times 0,25) + (0,01 times 0,25)
P(D) = 0,025 + 0,005 + 0,0025 = 0,0325
Então, a probabilidade total de um aparelho ter defeito é 3,25%.

Passo 4

Agora que temos P(D), podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de o aparelho ser da marca A dado que ele apresentou defeito (P(A|D)). A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A|D) = P(D|A) times P(A)P(D)
Substituindo os valores que já conhecemos:
P(A|D) = 0,05 times 0,500,0325 = 0,0250,0325 approx 0,7692

Resposta

Portanto, a probabilidade de que um aparelho que precisou de reparo na garantia seja da marca A é de aproximadamente 76,92%.

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