Uma longa casca cilíndrica (raio externo
, raio interno
e permeabilidade relativa
) está orientada normalmente para um campo de indução magnética uniforme,
. Demonstre que a induçâo magnética
na regiâo de vácuo đentro đa casca é paralela a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca cilíndrica longa com raio externo $ b $, raio interno $ a $ e permeabilidade relativa $ K_{m} $. Essa casca está colocada perpendicularmente a um campo de indução magnética uniforme, $ \mathbf{B}{0} $. Nosso objetivo é mostrar que a indução magnética $ \mathbf{B}{i} $ na região de vácuo dentro da casca é paralela a $ \mathbf{B}_{0} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, como o campo magnético em materiais, condições de contorno e a Lei de Ampère.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a indução magnética $ \mathbf{B} $ em um material está relacionada ao campo magnético $ \mathbf{H} $ pela relação:
onde $ \mu = \mu_0 K_m $ é a permeabilidade magnética do material, sendo $ \mu_0 $ a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Como a casca é longa e estamos lidando com simetria cilíndrica, podemos usar a Lei de Ampère, que em termos de caminho fechado é:
onde $ I_{enc} $ é a corrente total envolvida pelo caminho de integração.
Passo 4
No nosso caso, não há correntes livres ($ I_{enc} = 0 $) dentro da casca, já que estamos considerando apenas a indução magnética causada pelo campo externo $ \mathbf{B}_{0} $. Portanto, a integral da Lei de Ampère fica:
Isso implica que o campo $ \mathbf{H} $ deve ser constante ao longo do caminho de integração.
Passo 5
Agora, consideramos o interior da casca, ou seja, a região de vácuo dentro dela. Como não há material magnético nessa região, a permeabilidade é $ \mu_0 $. Portanto, a indução magnética nessa região é:
Como mostramos que $ \mathbf{H} $ é constante e paralelo a $ \mathbf{B}{0} $, isso significa que $ \mathbf{B}{i} $ também é paralelo a $ \mathbf{B}_{0} $.
Resposta
A indução magnética $ \mathbf{B}{i} $ na região de vácuo dentro da casca é, de fato, paralela ao campo magnético externo $ \mathbf{B}{0} $.