Uma longa casca cilíndrica (raio externo b, raio interno a e permeabilidade relativa Km ) está orientada normalmente para um campo de indução magnética uniforme, B0. Demonstre que a induçâo magnética Bi na regiâo de vácuo đentro đa casca é paralela a B0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca cilíndrica longa com raio externo $ b $, raio interno $ a $ e permeabilidade relativa $ K_{m} $. Essa casca está colocada perpendicularmente a um campo de indução magnética uniforme, $ \mathbf{B}{0} $. Nosso objetivo é mostrar que a indução magnética $ \mathbf{B}{i} $ na região de vácuo dentro da casca é paralela a $ \mathbf{B}_{0} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetostática, como o campo magnético em materiais, condições de contorno e a Lei de Ampère.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a indução magnética $ \mathbf{B} $ em um material está relacionada ao campo magnético $ \mathbf{H} $ pela relação:
B
onde $ \mu = \mu_0 K_m $ é a permeabilidade magnética do material, sendo $ \mu_0 $ a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Como a casca é longa e estamos lidando com simetria cilíndrica, podemos usar a Lei de Ampère, que em termos de caminho fechado é:
oint H cdot dl = Ienc
onde $ I_{enc} $ é a corrente total envolvida pelo caminho de integração.

Passo 4

No nosso caso, não há correntes livres ($ I_{enc} = 0 $) dentro da casca, já que estamos considerando apenas a indução magnética causada pelo campo externo $ \mathbf{B}_{0} $. Portanto, a integral da Lei de Ampère fica:
Ienc = 0
Isso implica que o campo $ \mathbf{H} $ deve ser constante ao longo do caminho de integração.

Passo 5

Agora, consideramos o interior da casca, ou seja, a região de vácuo dentro dela. Como não há material magnético nessa região, a permeabilidade é $ \mu_0 $. Portanto, a indução magnética nessa região é:
mu0
Como mostramos que $ \mathbf{H} $ é constante e paralelo a $ \mathbf{B}{0} $, isso significa que $ \mathbf{B}{i} $ também é paralelo a $ \mathbf{B}_{0} $.

Resposta

A indução magnética $ \mathbf{B}{i} $ na região de vácuo dentro da casca é, de fato, paralela ao campo magnético externo $ \mathbf{B}{0} $.

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