Uim magneton de Bohr é definido como o momento magnético de um elétron que circula na clássica órbita de Bohr do átomo de hidrogênio. Esta órbita é circular e tem exatamente um comprimento de onda de Broglie. para a qual a atração coulombiana proporciona a aceleração centrípeta. Demonstre que 1 mageneton de Bohr
, onde
é a massa do clétron e
é a constante de Planck.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o magneton de Bohr, que é o momento magnético de um elétron orbitando no átomo de hidrogênio segundo o modelo clássico de Bohr. Para isso, a órbita é circular e tem um comprimento de onda de Broglie específico, onde a atração coulombiana mantém o elétron na trajetória. Nosso objetivo é mostrar que o magneton de Bohr é igual a $ \mu_B = \frac{c h}{4 \pi m_e} $, onde $ m_e $ é a massa do elétron e $ h $ é a constante de Planck.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de dois conceitos importantes: o momento magnético e a quantização do momento angular no modelo de Bohr.
O momento magnético ($ \mu $) de uma corrente elétrica é dado por:
onde:
- $ I $ é a corrente elétrica,
- $ A $ é a área da órbita,
- $ c $ é a velocidade da luz.
No caso do elétron orbitando, a corrente $ I $ pode ser pensada como a carga do elétron passando por um ponto a cada período de rotação.
Passo 3
Vamos calcular a corrente $ I $. A carga do elétron é $ e $, e o tempo que leva para completar uma órbita é o período $ T $. Então:
O período $ T $ está relacionado à velocidade do elétron $ v $ e ao raio da órbita $ r $ por:
Substituindo na expressão da corrente:
Passo 4
Agora, calculamos a área $ A $ da órbita circular:
Substituindo $ I $ e $ A $ na expressão do momento magnético:
Passo 5
No modelo de Bohr, o momento angular ($ L $) do elétron é quantizado e dado por:
onde $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ e $ m_e $ é a massa do elétron.
Desse jeito, podemos isolar a velocidade $ v $:
Passo 6
Substituindo a expressão de $ v $ na equação do momento magnético $ \mu $:
Note que o $ r $ cancela, simplificando a expressão.
Passo 7
Substituindo $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $ na equação:
Esta é a expressão do magneton de Bohr.
Resposta
Portanto, o magneton de Bohr é dado por: