Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(e^y) imath+(x e^y+e^z) jmath+(y e^z) k e a curva parametrizada C: r(t)=(t+sen(pi t)) imath+(t+cos (pi t)) jmath+(t^2+sen(pi4 t) cdot cos (pi4 t)) k, com 0 <= t <= 1 Faça o que se pede:
a) Mostre que o campo vetorial F é conservativo.
b) Determine uma função f tal que nabla f=F.
c) Utilizando a função f encontrada no item b , determine o valor da integral integralC F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y, z) e uma curva parametrizada C. A gente precisa resolver três partes:
a) Mostrar que o campo vetorial F é conservativo.
b) Encontrar uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F, ou seja, nabla f = F.
c) Usar essa função f para calcular a integral de linha integralC F cdot d r.
Para resolver essas partes, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, gradientes e integrais de linha.

Passo 2

Parte a: Mostrar que o campo vetorial F é conservativo.
Primeiro, o que significa um campo vetorial ser conservativo? Um campo F é conservativo se existe uma função escalar f tal que F = nabla f. Além disso, em espaços onde não há buracos (domínio simplesmente conexo), um campo é conservativo se e somente se o seu rotacional (ou curl) é zero, ou seja, nabla times F = 0.
Então, para mostrar que F é conservativo, vamos calcular o rotacional de F e verificar se ele é zero.
Dado:
F(x, y, z) = e^y imath + (x e^y + e^z) jmath + y e^z k
O rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) imath + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) jmath + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente imath:
partial Fzpartial y = partialpartial y (y e^z) = e^z partial Fypartial z = partialpartial z (x e^y + e^z) = e^z Então, partial Fzpartial y - partial Fypartial z = e^z - e^z = 0 ã
  1. Componente jmath:
partial Fxpartial z = partialpartial z (e^y) = 0 partial Fzpartial x = partialpartial x (y e^z) = 0 Então, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0 ã
  1. Componente k:
partial Fypartial x = partialpartial x (x e^y + e^z) = e^y partial Fxpartial y = partialpartial y (e^y) = e^y Então, partial Fypartial x - partial Fxpartial y = e^y - e^y = 0 ã
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos:
nabla times F = 0
Portanto, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 3

Parte b: Determinar uma função f tal que nabla f = F.
Sabemos que se F é conservativo, então existe uma função escalar f tal que:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = F = ( e^y, x e^y + e^z, y e^z )
Isso nos dá as seguintes equações parciais:
  1. partial fpartial x = e^y
  2. partial fpartial y = x e^y + e^z
  3. partial fpartial z = y e^z
Vamos integrar essas equações para encontrar f.
Integrando a primeira equação:
partial fpartial x = e^y
Integrando em relação a x:
f(x, y, z) = integral e^y , dx = e^y x + g(y, z)
onde g(y, z) é uma função de integração que depende de y e z.
Usando a segunda equação para encontrar g(y, z):
partial fpartial y = x e^y + e^z
Derivando f em relação a y:
partial fpartial y = e^y x + partial gpartial y = x e^y + e^z
Comparando com a equação dada:
e^y x + partial gpartial y = x e^y + e^z Rightarrow partial gpartial y = e^z
Integrando partial gpartial y = e^z em relação a y:
g(y, z) = e^z y + h(z)
onde h(z) é uma função de integração que depende apenas de z.
Agora, usando a terceira equação para encontrar h(z):
partial fpartial z = y e^z
Derivando f em relação a z:
partial fpartial z = e^y cdot 0 + e^z y + h'(z) = y e^z + h'(z)
Comparando com a equação dada:
y e^z + h'(z) = y e^z Rightarrow h'(z) = 0
Integrando h'(z) = 0:
h(z) = C
onde C é uma constante.
Portanto, a função f é:
f(x, y, z) = e^y x + e^z y + C
Podemos ignorar a constante C sem perda de generalidade, então:
f(x, y, z) = x e^y + y e^z

Passo 4

Parte c: Determinar o valor da integral integralC F cdot d r usando a função f encontrada no item b.
Como o campo F é conservativo e temos uma função potencial f, a integral de linha ao longo de uma curva C depende apenas dos valores de f nos pontos inicial e final da curva. A fórmula é:
integralC F cdot d r = f(r(1)) - f(r(0))
Vamos identificar r(t) para t=0 e t=1:
Dada a curva parametrizada:
r(t) = (t + sin(pi t)) imath + (t + cos(pi t)) jmath + (t^2 + sin(pi4 t) cos(pi4 t)) k, 0 <= t <= 1
Calculando r(0):
r(0) = (0 + sin(0)) imath + (0 + cos(0)) jmath + (0^2 + sin(0) cos(0)) k = 0 imath + 1 jmath + 0 k = (0, 1, 0)
Calculando r(1):
r(1) = (1 + sin(pi)) imath + (1 + cos(pi)) jmath + (1^2 + sin(pi4) cos(pi4)) k
Sabendo que sin(pi) = 0 e cos(pi) = -1, temos:
r(1) = (1 + 0) imath + (1 - 1) jmath + (1 + raiz22 cdot raiz22) k = 1 imath + 0 jmath + (1 + 12) k = (1, 0, 1.5)
Agora, usamos a função f:
f(x, y, z) = x e^y + y e^z
Calculando f(r(1)):
f(1, 0, 1.5) = 1 cdot e^0 + 0 cdot e^1.5 = 1 + 0 = 1
Calculando f(r(0)):
f(0, 1, 0) = 0 cdot e^1 + 1 cdot e^0 = 0 + 1 = 1
Portanto:
integralC F cdot d r = f(r(1)) - f(r(0)) = 1 - 1 = 0

Resposta

O valor da integral integralC F cdot d r é 0.

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