Dado o campo vetorial
e a curva parametrizada
, com
Faça o que se pede:
a) Mostre que o campo vetorial
é conservativo.
b) Determine uma função
tal que
.
c) Utilizando a função
encontrada no item b , determine o valor da integral
.
a) Mostre que o campo vetorial
b) Determine uma função
c) Utilizando a função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma curva parametrizada
. A gente precisa resolver três partes:
a) Mostrar que o campo vetorial
é conservativo.
b) Encontrar uma função
tal que o gradiente de
seja igual a
, ou seja,
.
c) Usar essa função
para calcular a integral de linha
.
Para resolver essas partes, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, gradientes e integrais de linha.
Passo 2
Parte a: Mostrar que o campo vetorial
é conservativo.
Primeiro, o que significa um campo vetorial ser conservativo? Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Além disso, em espaços onde não há buracos (domínio simplesmente conexo), um campo é conservativo se e somente se o seu rotacional (ou curl) é zero, ou seja,
.
Então, para mostrar que
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e verificar se ele é zero.
Dado:
O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos:
Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 3
Parte b: Determinar uma função
tal que
.
Sabemos que se
é conservativo, então existe uma função escalar
tal que:
Isso nos dá as seguintes equações parciais:
Vamos integrar essas equações para encontrar
.
Integrando a primeira equação:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função de integração que depende de
e
.
Usando a segunda equação para encontrar
:
Derivando
em relação a
:
Comparando com a equação dada:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Agora, usando a terceira equação para encontrar
:
Derivando
em relação a
:
Comparando com a equação dada:
Integrando
:
onde
é uma constante.
Portanto, a função
é:
Podemos ignorar a constante
sem perda de generalidade, então:
Passo 4
Parte c: Determinar o valor da integral
usando a função
encontrada no item b.
Como o campo
é conservativo e temos uma função potencial
, a integral de linha ao longo de uma curva
depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final da curva. A fórmula é:
Vamos identificar
para
e
:
Dada a curva parametrizada:
Calculando
:
Calculando
:
Sabendo que
e
, temos:
Agora, usamos a função
:
Calculando
:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
O valor da integral
é 0.