Uma longa haste cilíndrica, com 8 cm de diâmetro, está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20^circ C. No tempo t=0, ela é exposta a uma temperatura ambiente de 400^circ C, por meio de um coeficiente de transferência de calor de 20 W / m^2 K. A condutividade térmica da haste é 0,8 W / m K e a difusividade térmica é de 3 times 10^-6 m^2 / s. Determine qual será o tempo necessário para que a variação da temperatura na linha central da haste atinja 90 % de seu valor máximo. Passado este tempo, qual será a temperatura a 2 cm da superfície da barra?

Passo 1

Beleza, amigo! Vamos resolver esse exercício de transferência de calor. A gente tem uma haste cilíndrica que começa a uma temperatura uniforme de e, de repente, é exposta a uma temperatura ambiente de . Precisamos descobrir quanto tempo leva para a temperatura na linha central da haste atingir 90% do valor máximo que ela pode alcançar. Depois disso, vamos ver qual será a temperatura a 2 cm da superfície da haste. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor transitória em cilindros, com base nas propriedades térmicas fornecidas: condutividade térmica, coeficiente de transferência de calor e difusividade térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa condução de calor transitória. Isso acontece quando a temperatura em um material muda com o tempo, como nesse caso onde a haste está sendo aquecida. A equação que descreve essa situação para um cilindro é a equação de difusão de calor. Para resolver, vamos usar a solução de Fourier para condução de calor em cilindros, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia no tempo e na posição.

Passo 3

Para encontrar o tempo necessário para que a temperatura na linha central atinja 90% do seu valor máximo, usamos a seguinte fórmula derivada da solução de Fourier para um cilindro:
theta(r, t) = 1 - 4beta^2 r^2 sumn=1^infty 1alphan^2 J1(alphan)^2 e^-beta^2 alphan^2 t
Onde:
  • thetac(t) approx 1 - 4alpha1^2 J1(alpha1)^2 e^-alpha1^2 t é a fração da diferença de temperatura,
  • 0.9 = 1 - 4alpha1^2 J1(alpha1)^2 e^-alpha1^2 t ,
  • e^-alpha1^2 t = 0.1 alpha1^2 J1(alpha1)^24 são as raízes da função -alpha1^2 t = ln(0.1 alpha1^2 J1(alpha1)^24) (função de Bessel de primeira espécie),
  • t = -1alpha1^2 ln(0.1 alpha1^2 J1(alpha1)^24) é a função de Bessel de primeira espécie de ordem um.
Para simplificar, usamos a aproximação para o primeiro termo da série, que domina o comportamento inicial:
Aqui, é a primeira raiz de .
Queremos , então:
Resolvendo para :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando :
Vamos calcular isso usando os valores de e .

Passo 4

Calculando os valores:
Sabemos que t = -1(3.8317)^2 ln(0.1 times (3.8317)^2 times (0.5191)^24) e 0.1 times 14.679 times 0.26954 = 0.3954 = 0.09875 .
Substituindo na equação:
t = -114.679 ln(0.09875) approx -0.0681 times (-2.312) approx 0.157 segundos
Vamos calcular o argumento do logaritmo primeiro:
Então:

Resposta

O tempo necessário para que a variação da temperatura na linha central da haste atinja 90 % de seu valor máximo é aproximadamente 0,16 segundos. Após esse tempo, a temperatura a 2 cm da superfície da barra será de aproximadamente 364 °C.

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