Um longo bastão circular de alumínio tem uma de suas extremidades fixada a uma parede aquecida e transfere calor por convecção para um fluido frio.
Se o diâmetro do bastão fosse dobrado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor ao longo do bastão?

Passo 1

Beleza, vamos ter um bastão cilíndrico de alumínio, com uma ponta presa numa parede quente e o resto trocando calor por convecção com um fluido frio. O conteúdo aqui é análise de “aleta” (fin) em regime permanente: a gente vai usar a equação de condução unidimensional e a condição de contorno de convecção na lateral. Precisamos de:
  • k (condutividade do alumínio)
  • h (coeficiente de convecção no fluido)
  • P (perímetro da seção transversal)
  • A (área da seção transversal)
  • L (comprimento do bastão)
  • m = √(hP/(kA))

Passo 2

Primeiro, a solução geral para a taxa de calor removido por um bastão longo com convecção lateral é
Q = (Tb - Tinfty),raizh,P,k,A,tanh(mL)
onde
m = raizh,Pk,A,
Aqui P=pi D e A=tfracpi4D^2. Se o bastão é “bem longo” tanh(mL)approx1, então simplifica para
Q approx (Tb - Tinfty),raizh,(pi D),k,l(tfracpi4D^2r);=;(Tb - Tinfty),raizh,k,pi^24,D^3,
Ou seja, visto só a dependência em D,
Qpropto D^3/2,

Passo 3

Agora, se dobramos o diâmetro ( Dto2D), a nova taxa de calor Q2 vai ficar:
Q2propto(2D)^3/2=2^3/2D^3/2=2raiz2,D^3/2,
Comparando com a original Q1propto D^3/2, dá
Q2Q1=2raiz2approx2,83,

Resposta

A taxa de remoção de calor aumenta por um fator 2raiz2approx2,83, (ou seja, cresce em aproximadamente 183%).

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