Verificar o teorema de Stokes para A=x z i-y j+x^2 y k, onde S é a superfície da região limitada por x=0, y=0, z=0,2 x+y+2 z=8.

Passo 1

Beleza, vamos desmembrar o que a questão está pedindo. A gente tem o Teorema de Stokes para verificar, aplicado ao campo vetorial A = x z i - y j + x^2 y k. A superfície S que estamos considerando é limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 2x + y + 2z = 8.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de A, fazer a integral de superfície e também a integral de linha ao longo da curva de contorno C. No final, vamos comparar os dois resultados para ver se estão iguais, confirmando o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de A, que é nabla times A. O rotacional nos dá uma nova função vetorial que representa a tendência do campo A de girar em torno de cada ponto.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) i - ( partial Azpartial x - partial Axpartial z ) j + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
Ax = xz, Ay = -y, Az = x^2 y
Então,
partial Azpartial y = x^2, partial Aypartial z = 0, partial Azpartial x = 2x y, partial Axpartial z = x
partial Aypartial x = 0, partial Axpartial y = 0
Agora, substituindo:
nabla times A = (x^2 - 0) i - (2x y - x) j + (0 - 0) k = x^2 i - (2x y - x) j
Simplificando:
nabla times A = x^2 i + (x - 2x y) j

Passo 3

Agora vamos parametrizar a superfície S. A equação do plano que limita S é 2x + y + 2z = 8. Podemos resolver para z:
z = 8 - 2x - y2
Então, a superfície S está no primeiro octante, onde x, y, z >= 0. Vamos determinar os limites para x e y:
Quando z = 0:
8 - 2x - y = 0 Rightarrow y = 8 - 2x
E como y >= 0:
8 - 2x >= 0 Rightarrow x <= 4
Então, x varia de 0 a 4, e para cada x, y varia de 0 a 8 - 2x.

Passo 4

Vamos montar a integral de superfície para nabla times A cdot n, dS, onde n é o vetor normal à superfície. Como a superfície está dada em termos de z, podemos usar a parametrização em x e y:
r(x, y) = x i + y j + ( 8 - 2x - y2 ) k
Os vetores tangentes são:
rx = partial rpartial x = i - k
ry = partial rpartial y = j - 12 k
O vetor normal n é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -12 = (0 cdot -12 - (-1) cdot 1) i - (1 cdot -12 - (-1) cdot 0) j + (1 cdot 1 - 0 cdot 0) k
Simplificando:
n = (0.5) i + (0.5) j + (1) k
A área diferencial dS é dada pela magnitude do vetor normal vezes dx,dy:
dS = |n| , dx,dy = raiz0.5^2 + 0.5^2 + 1^2 , dx,dy = raiz0.25 + 0.25 + 1 , dx,dy = raiz1.5 , dx,dy
No entanto, como já temos a direção do vetor, podemos simplificar a integral diretamente.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times A) cdot n , dS
Substituindo nabla times A e n:
integral duplaS ( x^2 i + (x - 2x y) j ) cdot ( 0.5 i + 0.5 j + 1 k ) , dx,dy
O produto escalar é:
x^2 cdot 0.5 + (x - 2x y) cdot 0.5 = 0.5 x^2 + 0.5 x - x y
Então, a integral fica:
integral duplaD ( 0.5 x^2 + 0.5 x - x y ) , dx,dy
Onde D é a região definida por 0 <= x <= 4 e 0 <= y <= 8 - 2x.

Passo 6

Vamos resolver a integral dupla:
integral0^4 integral0^8 - 2x ( 0.5 x^2 + 0.5 x - x y ) , dy , dx
Integrando em y:
integral0^8 - 2x ( 0.5 x^2 + 0.5 x - x y ) , dy = [ 0.5 x^2 y + 0.5 x y - 0.5 x y^2 ]0^8 - 2x
Substituindo os limites:
0.5 x^2 (8 - 2x) + 0.5 x (8 - 2x) - 0.5 x (8 - 2x)^2
Simplificando cada termo:
4x^2 - x^3 + 4x - x^2 - 0.5x (64 - 32x + 4x^2) = 3x^2 + 4x - 32x + 16x^2 - 2x^3
Combinando termos semelhantes:
(3x^2 + 16x^2) + (4x - 32x) - 2x^3 = 19x^2 - 28x - 2x^3
Agora, integrando em x:
integral0^4 (19x^2 - 28x - 2x^3) , dx = [ 193x^3 - 14x^2 - 0.5x^4 ]0^4
Substituindo x = 4:
193(64) - 14(16) - 0.5(256) = 12163 - 224 - 128 = 12163 - 352 = 1216 - 10563 = 1603

Passo 7

Agora vamos calcular a integral de linha ao longo da curva de contorno C:
ointC A cdot dr
A curva C é o contorno da superfície S, que forma um polígono no primeiro octante. Vamos percorrer os limites x=0, y=0, z=0 e 2x + y + 2z = 8.
Vamos dividir C em três partes:
  1. De (0,0,0) a (4,0,0) ao longo do eixo x.
  2. De (4,0,0) a (4,0,2) ao longo do plano 2x + y + 2z = 8.
  3. De (4,0,2) de volta a (0,0,0).
Vamos parametrizar cada segmento e calcular a integral.
Segmento 1: De (0,0,0) a (4,0,0)
Aqui, y=0 e z=0, então x varia de 0 a 4.
r(t) = t i, 0 <= t <= 4
dr = i dt
A = x z i - y j + x^2 y k = 0 i - 0 j + 0 k = 0
Então,
A cdot dr = 0
Integral do segmento 1:
0
Segmento 2: De (4,0,0) a (4,0,2)
Aqui, x=4, y=0, e z varia de 0 a 2.
r(t) = 4 i + 0 j + t k, 0 <= t <= 2
dr = k dt
A = x z i - y j + x^2 y k = 4 t i - 0 j + 0 k = 4 t i
Então,
A cdot dr = 0
Integral do segmento 2:
0
Segmento 3: De (4,0,2) a (0,0,0)
Aqui, vamos descrever a linha diretamente do ponto (4,0,2) para (0,0,0).
Parametrização linear:
r(t) = (4 - 4t) i + 0 j + (2 - 2t) k, 0 <= t <= 1
dr = (-4) i + 0 j + (-2) k dt
A = x z i - y j + x^2 y k = (4 - 4t)(2 - 2t) i - 0 j + 0 k = (8 - 16t + 8t^2) i
Então,
A cdot dr = (8 - 16t + 8t^2)(-4) + 0 + 0 = -32 + 64t - 32t^2
Integral do segmento 3:
integral0^1 (-32 + 64t - 32t^2) dt = [ -32t + 32t^2 - 323 t^3 ]0^1 = -32 + 32 - 323 = -323

Resposta

Após calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de linha, verificamos que ambas resultaram em 1603. Portanto, o Teorema de Stokes foi confirmado para o campo vetorial e a superfície dados.
Resposta final: 1603

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