Verificar o teorema de Stokes para , onde é a superfície da região limitada por .
Passo 1
Beleza, vamos desmembrar o que a questão está pedindo. A gente tem o Teorema de Stokes para verificar, aplicado ao campo vetorial . A superfície que estamos considerando é limitada pelos planos , , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , fazer a integral de superfície e também a integral de linha ao longo da curva de contorno . No final, vamos comparar os dois resultados para ver se estão iguais, confirmando o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é . O rotacional nos dá uma nova função vetorial que representa a tendência do campo de girar em torno de cada ponto.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Agora, substituindo:
Simplificando:
Passo 3
Agora vamos parametrizar a superfície . A equação do plano que limita é . Podemos resolver para :
Então, a superfície está no primeiro octante, onde . Vamos determinar os limites para e :
Quando :
E como :
Então, varia de 0 a 4, e para cada , varia de 0 a .
Passo 4
Vamos montar a integral de superfície para , onde é o vetor normal à superfície. Como a superfície está dada em termos de , podemos usar a parametrização em e :
Os vetores tangentes são:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Simplificando:
n = (0.5) i + (0.5) j + (1) k
A área diferencial dS é dada pela magnitude do vetor normal vezes dx,dy:
Após calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de linha, verificamos que ambas resultaram em 1603. Portanto, o Teorema de Stokes foi confirmado para o campo vetorial e a superfície dados.