\Longrightarrow 11. Sejam A, B \subset C e funções indicadoras (ou características) I_{A}, I_{B}. Prove que
(a) A \subset B se, e somente se, I_{A} \leq I_{B};

Passo 1

O enunciado dá conjuntos A,B\subset C e as funções indicadoras I_{A} e I_{B}. A pergunta é provar a equivalência:
A\subset B\quad\text{se e somente se}\quad I_{A}\le I_{B}.
Listei as informações relevantes: A e B são subconjuntos de um mesmo conjunto C; I_{A} e I_{B} são as suas funções indicadoras (características). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vou explicar certinho o que é cada coisa (para você poder repetir isso na prova). A função indicadora de um conjunto S\subset C\) é definida por \[I_{S}(x)=\begin{cases} 1,&\text{se }x\in S,\\[4pt] 0,&\text{se }x\notin S. \end{cases}
Ou seja, I_{S}(x)\] só vale \(0 ou 1. Quando escrevemos I_{A}\le I_{B} estamos dizendo que a desigualdade vale ponto a ponto; isto é,
I_{A}\le I_{B}\quad\Longleftrightarrow\quad I_{A}(x)\le I_{B}(x)\\ \text{ para todo }x\in C.
Agora que os termos estão claros, parto para provar as duas implicações da bicondicional.]

Passo 3

Provo primeiro que
A\subset B\quad\Longrightarrow\quad I_{A}\le I_{B}.
Tomemos um x\in C arbitrário (na prova sempre funcione com um elemento arbitrário para mostrar que algo vale para todo x). Há dois casos: (i) se x\in A, como A\subset B segue que x\in B; então I_{A}(x)=1 e I_{B}(x)=1, logo I_{A}(x)\le I_{B}(x). (ii) se x\notin A, então I_{A}(x)=0; e como I_{B}(x) só pode ser 0 ou 1, temos 0=I_{A}(x)\le I_{B}(x). Em ambos os casos a desigualdade ponto a ponto vale, portanto I_{A}(x)\le I_{B}(x) para todo x\in C, ou seja I_{A}\le I_{B}.

Passo 4

Agora a implicação inversa:
I_{A}\le I_{B}\quad\Longrightarrow\quad A\subset B.
Para mostrar A\subset B pego um x\in A arbitrário e mostro que x\in B. Se x\in A então I_{A}(x)=1. Como I_{A}\le I_{B} vale ponto a ponto, temos I_{B}(x)\ge I_{A}(x)=1. Mas I_{B}(x) só pode ser 0 ou 1, então necessariamente I_{B}(x)=1. Da definição da indicadora isso significa x\in B. Como x\in A era arbitrário, concluímos que todo elemento de A pertence a B, ou seja A\subset B.

Passo 5

Resumo intuitivo que ajuda na prova: a indicadora marca com 1 os elementos do conjunto e com 0 os que não pertencem. Dizer I_{A}\le I_{B} ponto a ponto significa que nunca acontece de um elemento estar em A (marca 1 em I_A) e não estar em B (marcar 0 em I_B). Isso é exatamente a definição de A\subset B. Na hora da prova, basta mostrar as duas implicações com um x arbitrário como fiz acima.

Resposta

\;A\subset B\iff I_{A}\le I_{B}.

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