11. Sejam
e funções indicadoras (ou características)
. Prove que
(a)
se, e somente se,
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá conjuntos
e as funções indicadoras
e
. A pergunta é provar a equivalência:
Listei as informações relevantes:
e
são subconjuntos de um mesmo conjunto
;
e
são as suas funções indicadoras (características). A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Vou explicar certinho o que é cada coisa (para você poder repetir isso na prova). A função indicadora de um conjunto
Ou seja,
ou
. Quando escrevemos
estamos dizendo que a desigualdade vale ponto a ponto; isto é,
Agora que os termos estão claros, parto para provar as duas implicações da bicondicional.]
Passo 3
Provo primeiro que
Tomemos um
arbitrário (na prova sempre funcione com um elemento arbitrário para mostrar que algo vale para todo
). Há dois casos: (i) se
, como
segue que
; então
e
, logo
. (ii) se
, então
; e como
só pode ser
ou
, temos
. Em ambos os casos a desigualdade ponto a ponto vale, portanto
para todo
, ou seja
.
Passo 4
Agora a implicação inversa:
Para mostrar
pego um
arbitrário e mostro que
. Se
então
. Como
vale ponto a ponto, temos
. Mas
só pode ser
ou
, então necessariamente
. Da definição da indicadora isso significa
. Como
era arbitrário, concluímos que todo elemento de
pertence a
, ou seja
.
Passo 5
Resumo intuitivo que ajuda na prova: a indicadora marca com
os elementos do conjunto e com
os que não pertencem. Dizer
ponto a ponto significa que nunca acontece de um elemento estar em
(marca
em
) e não estar em
(marcar
em
). Isso é exatamente a definição de
. Na hora da prova, basta mostrar as duas implicações com um
arbitrário como fiz acima.