Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em uma placa circular de raio r=1 considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado. u(1, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}u_{0}, & 0<\theta<\pi \\\\ 0, & \pi<\theta<2 \pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura de regime permanente em uma placa circular de raio 1\) (disco unitário) sabendo que a temperatura na borda \(r=1\) é
\[u(1,\theta)=\begin{cases} u_{0}, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<\theta<2\pi. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá: \;1)\] O domínio é o disco \(\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 1,\;0\le\theta<2\pi\}.
\;2) Procuramos solução em regime permanente, ou seja, solução da equação de Laplace (temperatura estacionária) dentro do disco, regular no centro r=0. \;3) Condição de contorno: valor de u na circunferência r=1 é a função por partes acima.
O que se pede: encontrar explicitamente u(r,\theta) para 0\le r\le 1 e 0\le\theta<2\pi.]
Passo 2
Vamos escrever a equação que u satisfaz e separar variáveis. A equação de Laplace em coordenadas polares é
A ideia (separation of variables) é procurar soluções do tipo \;u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)\;. Substituindo na equação e dividindo por R\Theta obtemos
\frac{r^{2}R''+rR'}{R}+\frac{\Theta''}{\Theta}=0.
Isolando termos dependentes apenas de \theta e apenas de r e igualando a uma constante -\lambda, obtemos duas equações ordinárias:
\Theta''+\lambda\Theta=0
e
r^{2}R''+rR'-\lambda R=0.
Aqui \lambda é uma constante de separação que vamos determinar pela periodicidade em \theta.
Passo 3
Estudando a equação angular \Theta''+\lambda\Theta=0\) com a condição de periodicidade \(\Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta)\), sabemos que os valores admissíveis de \(\lambda\) são \(\lambda=n^{2}\) com \(n=0,1,2,\dots\). As soluções correspondentes são:
\[\begin{cases} \Theta_{0}(\theta)=\text{constante}, & n=0,\\[4pt] \Theta_{n}(\theta)=A_{n}\cos(n\theta)+B_{n}\sin(n\theta), & n\ge 1. \end{cases}
As funções \{1,\cos n\theta,\sin n\theta\}\] são ortogonais em \([0,2\pi], propriedade que usaremos para obter coeficientes da expansão da condição de contorno.]
Passo 4
Agora resolvemos a equação radial
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0.
Para n\ge 1 esta é uma equação de Euler-Cauchy cuja solução geral é
R(r)=C_{n}r^{n}+D_{n}r^{-n}.
Queremos soluções regulares no centro r=0; termos r^{-n} com n\ge 1 divergem em r=0, então devemos tomar D_{n}=0. Para n=0 a equação radial reduz-se a r^{2}R''+rR'=0, cuja solução geral é R(r)=C_{0}+D_{0}\ln r. A condição de regularidade em r=0 exige D_{0}=0, logo R é constante para n=0.
Passo 5
Juntando as partes angular e radial, a forma geral das soluções regulares no disco é a série de Fourier radialmente ponderada:
Substituímos na forma geral. Como a_{n}=0 para n\ge 1 e b_{n} é zero para n par e 2u_{0}/(\pi n) para n ímpar, a solução dentro do disco (regular em r=0) é
Esta série converge uniformemente para r\le 1 (exceto possivelmente nas fronteiras de descontinuidade em \theta na borda), e em r=1 recupera a função de contorno (no sentido da série de Fourier).
Passo 11
Recapitulando: explicamos por separação de variáveis, obtivemos a expansão de Fourier da condição de contorno e encontramos os coeficientes. A solução é a soma do termo constante mais termos ímpares em seno, com fator r^{n} garantindo regularidade em r=0.