A tensão admissível é de 50 MPa na barra de latão A B e de 25 MPa na barra de aluminio B C. Sabendo que um torque de intensidade T=1.250 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} é aplicado em A, determine o diâmetro necessário da barra $B C.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Tensão admissível na barra A B: \tau_{AB}=50\\ \text{MPa}.
  • Tensão admissível na barra B C: \tau_{BC}=25\\ \text{MPa}.
  • Torque aplicado em A: T=1{,}250\\ \text{N}\cdot\text{m}.
    O que o enunciado pede: determinar o diâmetro necessário da barra B C (ou seja, o menor diâmetro que garanta que a tensão por torção em B C não ultrapasse \tau_{BC}=25\\ \text{MPa}).

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo): em uma barra circular maciça submetida a torque, a máxima tensão de cisalhamento (tensão por torção) ocorre na superfície externa e é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque (em \text{N}\cdot\text{mm} ou \text{N}\cdot\text{m}),
  • c é a distância do eixo até a fibra externa (para um eixo circular maciço c=\dfrac{d}{2}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (para um eixo circular maciço J=\dfrac{\pi d^4}{32}).
Explicando: J mede a “resistência geométrica” da seção à torção; c é o “braço” onde a tensão atinge o máximo. Substituindo c e J na fórmula temos uma expressão prática para eixos sólidos circulares:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Essa é a fórmula que usamos para relacionar torque, diâmetro e tensão máxima de cisalhamento.

Passo 3

Queremos que a tensão máxima não ultrapasse a tensão admissível da barra B C, ou seja
\frac{16\,T}{\pi d^{3}}\le \tau_{BC}.
Para encontrar o menor diâmetro que satisfaça isso isolamos d:
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{BC}} \qquad\Rightarrow\qquad d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{BC}}\right)^{1/3}.

Passo 4

Cuidados com unidades (muito importante em prova): a tensão admissível está em \text{MPa}, que equivale a \text{N}/\text{mm}^{2}. Para ficar consistente, convertemos o torque para \text{N}\cdot\text{mm}.
T=1{,}250\\ \text{N}\cdot\text{m}=1{,}250\times 1000\\ \text{N}\cdot\text{mm}=1{,}250{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
E \tau_{BC}=25\\ \text{MPa}=25\\ \text{N}/\text{mm}^{2}.

Passo 5

Substituindo os valores na expressão:
d^{3}=\frac{16\cdot 1{,}250{,}000}{\pi\cdot 25}.
Calculemos passo a passo:
16\cdot 1{,}250{,}000=20{,}000{,}000.
\pi\cdot 25\approx 78{,}539816\ldots
d^{3}\approx \frac{20{,}000{,}000}{78{,}539{,}816/1000}\approx 254\,647{,}9\\ \text{mm}^{3}.
Agora extraímos a raiz cúbica:
d\approx \sqrt[3]{254\,647{,}9}\approx 63{,}4\\ \text{mm}.
Observação numérica simples para checar: 63^{3}=250\,047 e 64^{3}=262\,144, então o valor tem que ficar entre 63 e 64 mm; o cálculo dá aproximadamente 63{,}4\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação prática: o diâmetro mínimo calculado para que a barra B C não ultrapasse a tensão admissível de 25\\ \text{MPa} sob o torque dado é d\approx 63{,}4\\ \text{mm}. Em projeto prático normalmente escolhe-se um diâmetro comercial padrão igual ou imediatamente superior (por exemplo 64\\ \text{mm} ou o próximo diâmetro padrão disponível), para garantir margem de segurança e fabricabilidade.

Resposta

d_{BC}\approx 63{,}4\\ \text{mm}

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