Usando a relação clássica entre o momento linear e a energia cinética, mostre que o comprimento de onda de De Broglie para um elétron pode ser escrito como:
\lambda=\sqrt{\frac{1,50}{V}},onde \lambda é dado em nm e V é o potencial de aceleração, dado em volts. (Use os melhores valores das constantes necessárias, que podem ser encontrados no Apêndice B.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir da relação clássica entre momento linear e energia cinética, que o comprimento de onda de De Broglie de um elétron acelerado por um potencial V satisfaz
\lambda = \sqrt{\frac{1,50}{V}},
onde \lambda está em nm e V em volts. Vamos usar a relação
\lambda = \dfrac{h}{p}
e a energia cinética clássica E_k = eV = \tfrac{p^2}{2m}.

Passo 2

Da energia cinética clássica temos
eV = \frac{p^2}{2m}
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p = \sqrt{2\,m\,e\,V}.
Substituindo em \lambda = \frac{h}{p} obtemos
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,V}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 = \frac{h^2}{2\,m\,e\,V}.

Passo 3

Agora inserimos os valores das constantes em unidades SI (Apêndice B):
h = 6{,}62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s},
m = 9{,}10938356\times10^{-31}\,\mathrm{kg},
e = 1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
Calculamos
h^2 = 4{,}393\times10^{-67}\,\mathrm{J^2s^2}, \quad 2\,m\,e = 2{,}918\times10^{-49}\,\mathrm{kg\cdot C}.
Assim
\frac{h^2}{2\,m\,e} \approx 1{,}505\times10^{-18}\;\mathrm{(m^2\cdot V)}.

Passo 4

Para converter metros em nanômetros usamos 1\,\mathrm{m}=10^9\,\mathrm{nm}, o que dá
\lambda^2 = \frac{1{,}505\times10^{-18}}{V}\;\mathrm{m^2} = \frac{1{,}505}{V}\;\mathrm{nm^2},
portanto
\lambda = \sqrt{\frac{1{,}505}{V}}\;\mathrm{nm}.
Arredondando 1{,}505\approx1{,}50 chega-se à forma desejada.

Resposta

\lambda = \sqrt{\frac{1,50}{V}} nm

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