Em uma superficie passando por \mathrm{z}=1 \mathrm{~m} foi depositada uma carga superficial, uniformemente distribuida, de 25 p \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Considerar cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros.
Calcular:
(a) a carga pontual que deve ser colocada no ponto ( 0,0,8 ) para que seja nula a força exercida em uma carga pontual de 1 p C localizada no ponto ( 0,0,4 );
(b) o trabalho necessário para mover a carga de 1 p C do ponto ( 0,0,4 ) até o ponto ( 0,0,7 ) (considerar a influência da carga pontual em ( 0,0,10 ) e da superficie de carga).
Cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vamos organizar devagarinho):\n
  • Foi depositada uma carga superficial, uniformemente distribuída, sobre a superfície definida por z=1 m. A densidade superficial é \sigma = 25\\ \mathrm{pC/m^{2}}. Vou sempre converter para Coulomb: \sigma = 25\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}}.\n
  • Há uma carga de prova (pontual) q_0 = 1\\ \mathrm{pC} localizada no ponto (0,0,4). Em Coulomb: q_0 = 1\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.\n
  • (a) Pede para calcular a carga pontual que devemos colocar no ponto (0,0,8) de modo que a força resultante sobre q_0 em (0,0,4) seja nula.\n
  • (b) Pede o trabalho necessário para mover a carga q_0 de (0,0,4) até (0,0,7), considerando a influência da carga pontual em (0,0,10) e da superfície carregada. Importante: o enunciado menciona uma "carga pontual em (0,0,10)", mas NÃO informa o valor dessa carga. Como essa magnitude é necessária para um resultado numérico completo em (b), eu vou (i) obter a expressão do trabalho em função da carga Q_{10} situada em (0,0,10), e (ii) calcular a contribuição numérica da superfície (que é conhecida). Não vou pedir mais informações — apenas vou explicitar que falta o valor de Q_{10} para um número final.\n
  • Constantes que vou usar: permissividade do vácuo \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.\n

Passo 2

Campo elétrico produzido por uma lâmina plana carregada (revisando a fórmula e sua direção)\n
  • Para uma superfície plana infinita com densidade superficial \sigma uniforme, o campo elétrico tem magnitude\n E_{\text{plano}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0},\n
em cada lado do plano, e as linhas de campo saem do plano se \sigma>0 (ou entram se \sigma<0). Aqui \sigma>0, então, acima do plano ( z>1) o campo aponta no sentido +\hat{z} (para cima, afastando-se do plano), e abaixo do plano aponta em -\hat{z}.\n
  • Aplicando números: \sigma=25\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}}. Portanto\n E_{\text{plano}}=\frac{25\times10^{-12}}{2\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{N/C} =\frac{25}{2\cdot 8{,}854187817}\\ \mathrm{N/C}.\n
Calculemos esse valor aproximado:\n E_{\text{plano}}\approx 1{,}4119\\ \mathrm{N/C}.\n
Então, no ponto (0,0,4) (que está acima do plano), o campo devido ao plano é \vec{E}_{\text{plano}} = +1{,}4119\\ \hat{z}\\ \mathrm{N/C}.\n
(Comentário amigo: esse campo é constante em todo o espaço acima/abaixo do plano, por causa da simetria da lâmina infinita — é bem prático na conta.)

Passo 3

Campo produzido por uma carga pontual e condição de equilíbrio (como montar a equação)\n
  • O campo elétrico produzido por uma carga pontual Q a uma distância r é dado por\n E_{\text{Q}}=\frac{k|Q|}{r^{2}},\nem módulo, apontando radialmente para fora se Q>0 e para dentro se Q<0.\n
  • No nosso caso queremos colocar uma carga Q no ponto (0,0,8). O ponto onde está q_0 é (0,0,4). As duas cargas e o ponto de prova estão todos sobre o eixo z, então o campo do ponto Q em (0,0,4) será ao longo de \hat{z}. A distância entre (0,0,8) e (0,0,4) é\n r = 8 - 4 = 4\\ \mathrm{m}.\n
  • O campo no ponto (0,0,4) devido a Q tem componente z (tomando +\hat{z} positivo): se Q>0 o campo em z=4 é para baixo (- \hat{z}), com valor kQ/4^{2}. Logo a componente z é -kQ/16 (para Q>0). Se Q<0, o sinal inverte — a fórmula vetorial já leva isso em conta se mantivermos Q com sinal.\n
  • A condição solicitada é que a força resultante sobre q_0 seja nula. Como a força é \vec{F}=q_0\vec{E}_{\text{total}}, e q_0\neq0, isso equivale a exigir que o campo total em (0,0,4) seja nulo:\n \vec{E}_{\text{plano}}+\vec{E}_{Q}=\vec{0}.\n
Como ambos os campos só têm componente z, basta a equação escalar para a componente z:\n E_{\text{plano},z} + E_{Q,z} = 0.

Passo 4

Resolver a equação para Q (parte a) — manipulação algébrica e substituições\n
  • Substituindo as expressões: E_{\text{plano},z}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} (positivo) e E_{Q,z}=\dfrac{-kQ}{4^{2}}=\dfrac{-kQ}{16}. Então\n \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}-\frac{kQ}{16}=0.\n
  • Isolando Q:\n \frac{kQ}{16}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad Q=\frac{16}{k}\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{8}{k}\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\n
  • Podemos simplificar usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Substituindo \dfrac{1}{k}=4\pi\varepsilon_0 no termo anterior:\n Q=8\cdot (4\pi\varepsilon_0)\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=8\cdot 4\pi \sigma = 32\pi\,\sigma.\n
Observação simpática: a permissividade cancela e o resultado não depende explicitamente de k — legal, né? Só depende de \sigma.\n
  • Agora substituímos \sigma=25\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}}:\n Q = 32\pi\cdot 25\times10^{-12}\\ \mathrm{C} =800\pi\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.\n
  • Valor numérico:\n Q \approx 800\cdot 3{,}1415926536\times10^{-12}\\ \mathrm{C} \approx 2{,}5132741\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.\n
  • Em unidades práticas para o enunciado (picoCoulomb):\n Q \approx 2513{,}27\\ \mathrm{pC}.\n
  • Sinal: o Q encontrado é positivo. Isso faz sentido físico: o plano empurra cargas positivas para cima (campo para +\hat{z}), então precisamos de uma carga positiva em z=8 que gere um campo para baixo em z=4 cancelando o campo do plano.

Passo 5

Energia potencial e trabalho elétrico — conceito que vamos usar na parte (b)\n
  • O trabalho mínimo realizado por um agente externo que move lentamente uma carga q_0 de um ponto A a um ponto B na presença de campos eletrostáticos conservativos é igual à variação da energia potencial elétrica:\n W_{\text{ext}}=\Delta U = q_0\bigl(V(B)-V(A)\bigr).\n
  • O potencial de uma superfície plana infinita com densidade \sigma varia linearmente com z porque o campo é constante. Entre dois pontos com coordenadas z_A e z_B, a diferença de potencial devido ao plano é\n V_{\text{plano}}(z_B)-V_{\text{plano}}(z_A)=-\int_{z_A}^{z_B}E_{\text{plano}}\,dz=-E_{\text{plano}}(z_B-z_A).\n
(Escolhi essa convenção de sinais consistente com E=-\nabla V.)\n
  • Para uma carga pontual Q_{10} em (0,0,10) o potencial em um ponto sobre o eixo é V_{\text{Q}}(z)=\dfrac{kQ_{10}}{|z-10|}. Então a diferença de potencial quando a carga de prova se move de z=4 para z=7 é\n \Delta V_{\text{Q}}=kQ_{10}\Bigl(\frac{1}{|7-10|}-\frac{1}{|4-10|}\Bigr) = kQ_{10}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\Bigr) = \frac{kQ_{10}}{6}.

Passo 6

Calcular explicitamente o trabalho devido a cada contribuição e montar a resposta total (parte b)\n
  • Contribuição da lâmina:\n \Delta V_{\text{plano}} = -E_{\text{plano}}(7-4) = -E_{\text{plano}}\cdot 3.\n
Com E_{\text{plano}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}, temos\n \Delta V_{\text{plano}} = -\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.\n
Multiplicando por q_0 para obter a variação de energia associada:\n \Delta U_{\text{plano}} = q_0\cdot\Bigl(-\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigr) = -q_0\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.\n
Substituindo números ( q_0=1\times10^{-12}\\ \mathrm{C}, \sigma=25\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}}, \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}):\n \Delta U_{\text{plano}}\approx -1\times10^{-12}\cdot\frac{3\cdot 25\times10^{-12}}{2\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{J} \approx -4{,}233\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.\n
(Interpretação: negativo — significa que a energia potencial diminui ao mover a carga de z=4 para z=7 devido ao campo do plano; o campo faz trabalho sobre a carga.)\n
  • Contribuição da carga pontual em (0,0,10), chamemos seu valor de Q_{10}. Como calculei antes,\n \Delta U_{10} = q_0\cdot\Delta V_{\text{Q_{10}}} = q_0\cdot\frac{kQ_{10}}{6}.\n
Isto é uma expressão linear em Q_{10}. Se quisermos escrever um coeficiente numérico para Q_{10} (quando Q_{10} estiver em Coulomb):\n \Delta U_{10} \approx \frac{k q_0}{6}\,Q_{10} \approx \frac{8{,}98755179\times10^{9}\cdot 1\times10^{-12}}{6}\,Q_{10} \approx 1{,}4979253\times10^{-3}\,Q_{10}\quad(\text{J, com }Q_{10}\text{ em C}).\n
  • Portanto, a variação total da energia (trabalho efetuado pelo agente externo para mover q_0 de z=4 para z=7) é\n \Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{10} + \Delta U_{\text{plano}} = q_0\frac{kQ_{10}}{6} - q_0\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}.\n
  • Substituindo números onde possível (mantendo Q_{10} simbólico porque o seu valor não foi fornecido):\n \Delta U_{\text{total}} = \frac{k q_0}{6}\,Q_{10} - 4{,}233\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.\n
  • Conclusão prática: sem o valor numérico de Q_{10} não dá para apresentar um único número para o trabalho. Já dei a expressão analítica e a contribuição numérica da lâmina (que é conhecida). Se alguém me der Q_{10} eu plugo e devolvo o valor final rapidinho.

Resposta

(a) Q \approx 2{,}5132741\times10^{-9}\\ \mathrm{C} \approx 2513{,}27\\ \mathrm{pC}.\n
(b) W=\Delta U_{\text{total}}=q_0\displaystyle\frac{kQ_{10}}{6}-q_0\displaystyle\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}. Numérico com q_0=1\times10^{-12}\\ \mathrm{C} e \sigma=25\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}}:\n W=\displaystyle\frac{k(1\times10^{-12})}{6}\,Q_{10}-4{,}233\times10^{-12}\\ \mathrm{J}. (Não é possível dar um número final sem o valor de Q_{10}.)

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