Em uma superficie passando por
foi depositada uma carga superficial, uniformemente distribuida, de
. Considerar cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros.
Calcular:
(a) a carga pontual que deve ser colocada no ponto (
) para que seja nula a força exercida em uma carga pontual de
localizada no ponto (
);
(b) o trabalho necessário para mover a carga de
do ponto (
) até o ponto (
) (considerar a influência da carga pontual em (
) e da superficie de carga).
Cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros.
Calcular:
(a) a carga pontual que deve ser colocada no ponto (
(b) o trabalho necessário para mover a carga de
Cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vamos organizar devagarinho):\n
- Foi depositada uma carga superficial, uniformemente distribuída, sobre a superfície definida por
m. A densidade superficial é . Vou sempre converter para Coulomb: .\n - Há uma carga de prova (pontual)
localizada no ponto . Em Coulomb: .\n - (a) Pede para calcular a carga pontual que devemos colocar no ponto
de modo que a força resultante sobre em seja nula.\n - (b) Pede o trabalho necessário para mover a carga
de até , considerando a influência da carga pontual em e da superfície carregada. Importante: o enunciado menciona uma "carga pontual em ", mas NÃO informa o valor dessa carga. Como essa magnitude é necessária para um resultado numérico completo em (b), eu vou (i) obter a expressão do trabalho em função da carga situada em , e (ii) calcular a contribuição numérica da superfície (que é conhecida). Não vou pedir mais informações — apenas vou explicitar que falta o valor de para um número final.\n - Constantes que vou usar: permissividade do vácuo
e a constante .\n
Passo 2
Campo elétrico produzido por uma lâmina plana carregada (revisando a fórmula e sua direção)\n
- Para uma superfície plana infinita com densidade superficial
uniforme, o campo elétrico tem magnitude\n \n
em cada lado do plano, e as linhas de campo saem do plano se
(ou entram se
). Aqui
, então, acima do plano (
) o campo aponta no sentido
(para cima, afastando-se do plano), e abaixo do plano aponta em
.\n
- Aplicando números:
. Portanto\n \n
Calculemos esse valor aproximado:\n
\n
Então, no ponto
(que está acima do plano), o campo devido ao plano é
\n
(Comentário amigo: esse campo é constante em todo o espaço acima/abaixo do plano, por causa da simetria da lâmina infinita — é bem prático na conta.)
(Comentário amigo: esse campo é constante em todo o espaço acima/abaixo do plano, por causa da simetria da lâmina infinita — é bem prático na conta.)
Passo 3
Campo produzido por uma carga pontual e condição de equilíbrio (como montar a equação)\n
- O campo elétrico produzido por uma carga pontual
a uma distância é dado por\n \nem módulo, apontando radialmente para fora se e para dentro se .\n - No nosso caso queremos colocar uma carga
no ponto . O ponto onde está é . As duas cargas e o ponto de prova estão todos sobre o eixo , então o campo do ponto em será ao longo de . A distância entre e é\n \n - O campo no ponto
devido a tem componente z (tomando positivo): se o campo em é para baixo (- ), com valor . Logo a componente z é (para ). Se , o sinal inverte — a fórmula vetorial já leva isso em conta se mantivermos com sinal.\n - A condição solicitada é que a força resultante sobre
seja nula. Como a força é , e , isso equivale a exigir que o campo total em seja nulo:\n \n
Como ambos os campos só têm componente z, basta a equação escalar para a componente z:\n
Passo 4
Resolver a equação para
(parte a) — manipulação algébrica e substituições\n
- Substituindo as expressões:
(positivo) e . Então\n \n - Isolando
:\n \n - Podemos simplificar usando
. Substituindo no termo anterior:\n \n
Observação simpática: a permissividade cancela e o resultado não depende explicitamente de
— legal, né? Só depende de
.\n
- Agora substituímos
:\n \n - Valor numérico:\n
\n - Em unidades práticas para o enunciado (picoCoulomb):\n
\n - Sinal: o
encontrado é positivo. Isso faz sentido físico: o plano empurra cargas positivas para cima (campo para ), então precisamos de uma carga positiva em que gere um campo para baixo em cancelando o campo do plano.
Passo 5
Energia potencial e trabalho elétrico — conceito que vamos usar na parte (b)\n
- O trabalho mínimo realizado por um agente externo que move lentamente uma carga
de um ponto a um ponto na presença de campos eletrostáticos conservativos é igual à variação da energia potencial elétrica:\n \n - O potencial de uma superfície plana infinita com densidade
varia linearmente com porque o campo é constante. Entre dois pontos com coordenadas e , a diferença de potencial devido ao plano é\n \n
(Escolhi essa convenção de sinais consistente com
.)\n
- Para uma carga pontual
em o potencial em um ponto sobre o eixo é . Então a diferença de potencial quando a carga de prova se move de para é\n
Passo 6
Calcular explicitamente o trabalho devido a cada contribuição e montar a resposta total (parte b)\n
- Contribuição da lâmina:\n
\n
Com
, temos\n
\n
Multiplicando por
para obter a variação de energia associada:\n
\n
Substituindo números (
,
,
):\n
\n
(Interpretação: negativo — significa que a energia potencial diminui ao mover a carga de
para
devido ao campo do plano; o campo faz trabalho sobre a carga.)\n
- Contribuição da carga pontual em
, chamemos seu valor de . Como calculei antes,\n \n
Isto é uma expressão linear em
. Se quisermos escrever um coeficiente numérico para
(quando
estiver em Coulomb):\n
\n
- Portanto, a variação total da energia (trabalho efetuado pelo agente externo para mover
de para ) é\n \n - Substituindo números onde possível (mantendo
simbólico porque o seu valor não foi fornecido):\n \n - Conclusão prática: sem o valor numérico de
não dá para apresentar um único número para o trabalho. Já dei a expressão analítica e a contribuição numérica da lâmina (que é conhecida). Se alguém me der eu plugo e devolvo o valor final rapidinho.
Resposta
(a)
\n
(b) Numérico com
e
:\n
(Não é possível dar um número final sem o valor de
.)
(b)