En los ejercicios 8-15, se dan regiones Omega en el espacio R^3. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas esféricas.
Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1, z <= 0

Passo 1

No exercício, a região Ω está definida por x^2 + y^2 + z^2 <= 1 e z <= 0. O conteúdo aqui é coordenadas esféricas, e vamos precisar da definição de rho,phi,theta para descrever pontos no espaço.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as transformações abaixo:
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi
Os parâmetros variam originalmente em rho>=0, 0<=phi<=pi e 0<=theta<2pi.

Passo 3

A condição x^2+y^2+z^2<=1 se torna rho^2<=1, ou seja,
0 <= rho <= 1

Passo 4

A condição z<=0 equivale a rhocosphi<=0. Como rho>=0, isso exige cosphi<=0, ou seja,
pi2 <= phi <= pi

Resposta

Em coordenadas esféricas,
Ω = { (\rho, \phi, \theta) | 0 \le \rho \le 1, ; \tfrac{\pi}{2} \le \phi \le \pi, ; 0 \le \theta < 2\pi }.

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