En los ejercicios l^circ-5, se dan regiones Omega en el espacio R^3. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas cilíndricas.
Omega=(x, y, z) mid 1 <= x^2+y^2 <= 4,0 <= z <= 1

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que nos pede para descrever a região Omega no espaço R^3 usando o sistema de coordenadas cilíndricas. A região Omega está definida por:
Omega = (x, y, z) mid 1 <= x^2 + y^2 <= 4, 0 <= z <= 1
Conteúdo da Matéria:
  • Coordenadas Cilíndricas: Um sistema de coordenadas que utiliza r, theta e z para descrever pontos no espaço tridimensional.
O que Precisamos:
  • Entender como converter a descrição de Omega de coordenadas cartesianas para cilíndricas.
  • Aplicar as fórmulas de conversão e interpretar os limites das variáveis r, theta e z.

Passo 2

Entendendo as Coordenadas Cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é representado por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy.
  • theta é o ângulo formado com o eixo x.
  • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
Fórmulas de Conversão:
x = r costheta y = r sintheta z = z
r = raizx^2 + y^2
theta = arctan(yx)

Passo 3

Convertendo a Descrição de Omega para Coordenadas Cilíndricas
A região Omega está definida por:
1 <= x^2 + y^2 <= 4, 0 <= z <= 1
Primeiro, observamos que x^2 + y^2 é igual a r^2 nas coordenadas cilíndricas. Então, podemos reescrever a condição:
1 <= r^2 <= 4
Tomando a raiz quadrada em todos os lados (lembrando que r >= 0):
1 <= r <= 2
A condição para z permanece a mesma:
0 <= z <= 1
Sobre theta:
Como não há restrições no ângulo theta, ele pode variar de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

Escrevendo a Região Omega em Coordenadas Cilíndricas
Agora, podemos descrever Omega no sistema de coordenadas cilíndricas combinando as condições encontradas para r, theta e z:
Omega = (r, theta, z) mid 1 <= r <= 2, 0 <= theta < 2pi, 0 <= z <= 1

Resposta

A região Omega em coordenadas cilíndricas é:
Omega = (r, theta, z) mid 1 <= r <= 2, 0 <= theta < 2pi, 0 <= z <= 1

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