En los ejercicios
, se dan regiones
en el espacio
. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que nos pede para descrever a região
no espaço
usando o sistema de coordenadas cilíndricas. A região
está definida por:
Conteúdo da Matéria:
- Coordenadas Cilíndricas: Um sistema de coordenadas que utiliza
, e para descrever pontos no espaço tridimensional.
O que Precisamos:
- Entender como converter a descrição de
de coordenadas cartesianas para cilíndricas. - Aplicar as fórmulas de conversão e interpretar os limites das variáveis
, e .
Passo 2
Entendendo as Coordenadas Cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano . -
é o ângulo formado com o eixo . -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Fórmulas de Conversão:
Passo 3
Convertendo a Descrição de
Omega para Coordenadas Cilíndricas
A região
Omega está definida por:
Primeiro, observamos que
x^2 + y^2 é igual a
r^2 nas coordenadas cilíndricas. Então, podemos reescrever a condição:
Tomando a raiz quadrada em todos os lados (lembrando que
r >= 0 ):
A condição para
z permanece a mesma:
Sobre
theta :
Como não há restrições no ângulotheta , ele pode variar de
0 a
2pi para cobrir toda a circunferência.
Como não há restrições no ângulo
Passo 4
Escrevendo a Região
Omega em Coordenadas Cilíndricas
Agora, podemos descrever
Omega no sistema de coordenadas cilíndricas combinando as condições encontradas para
r ,
theta e
z :
Resposta
A região
Omega em coordenadas cilíndricas é: