En los ejercicios 8-15, se dan regiones Omega en el espacio R^3. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas esféricas.
Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 4, x <= 0, y >= 0, z >= 0

Passo 1

Enunciado: a região Ω em ℝ³ é dada por x²+y²+z² ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0. Queremos expressar isso em coordenadas esféricas, onde usamos as variáveis ρ, θ, φ com
x = ρsinφcosθ, y = ρsinφsinθ, z = ρcosφ,
e domínios iniciais ρ ≥ 0, φ ∈ [0,π], θ ∈ [0,2π].

Passo 2

Da condição x^2+y^2+z^2 <= 4 segue ρ² ≤ 4, ou seja,
0 <= ρ <= 2

Passo 3

Para x ≤ 0 e y ≥ 0, note que ρ ≥ 0 e sinφ ≥ 0 para φ em [0,π], então x ≤ 0 ⇔ cosθ ≤ 0 e y ≥ 0 ⇔ sinθ ≥ 0. Essas duas restrições juntas dão
θ ∈ [tfracπ2,,π]

Passo 4

Para z ≥ 0 usamos z = ρ\cosφ ≥ 0, o que leva a cosφ ≥ 0 e, portanto,
φ ∈ [0,tfracπ2]

Resposta

Em coordenadas esféricas, a região é dada por
0 <= ρ <= 2, tfracπ2 <= θ <= π, 0 <= φ <= tfracπ2

Exercícios relacionados