En los ejercicios 8-15, se dan regiones
en el espacio
. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas esféricas.
Passo 1
Enunciado: a região Ω em ℝ³ é dada por x²+y²+z² ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0. Queremos expressar isso em coordenadas esféricas, onde usamos as variáveis ρ, θ, φ com
e domínios iniciais ρ ≥ 0, φ ∈ [0,π], θ ∈ [0,2π].
Passo 2
Da condição
segue ρ² ≤ 4, ou seja,
Passo 3
Para x ≤ 0 e y ≥ 0, note que ρ ≥ 0 e
para φ em [0,π], então x ≤ 0 ⇔
e y ≥ 0 ⇔
. Essas duas restrições juntas dão
Passo 4
Para z ≥ 0 usamos z = ρ\cosφ ≥ 0, o que leva a
e, portanto,
Resposta
Em coordenadas esféricas, a região é dada por