En los ejercicios 8-15, se dan regiones Omega en el espacio R^3. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas esféricas.
Omega=(x, y, z) mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4, x >= 0, y <= 0, z <= 0

Passo 1

O exercício dá a região Ω = {(x,y,z) ∈ ℝ³ ∣ 1 ≤ x²+y²+z² ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≤ 0} e pede para descrevê-la em coordenadas esféricas. Vamos usar o sistema (ρ,θ,φ) onde x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ.

Passo 2

Da condição 1 ≤ x²+y²+z² ≤ 4 temos 1 ≤ ρ² ≤ 4, logo ρ varia entre 1 e 2: ρ ∈ [1,2].

Passo 3

Para x ≥ 0 e y ≤ 0 note que x e y dependem de cosθ e sinθ. x ≥ 0 ⇒ cosθ ≥ 0 ⇒ θ ∈ [−π/2,π/2]. y ≤ 0 ⇒ sinθ ≤ 0 ⇒ θ ∈ [−π,0] ∪ [π,2π], mas restringindo a interseção no domínio padrão θ ∈ [0,2π) ficamos com θ ∈ [−π/2,0] (ou equivalentemente θ ∈ [3π/2,2π) em outra convenção).

Passo 4

Para z ≤ 0 temos z = ρ cosφ ≤ 0 ⇒ cosφ ≤ 0. Como φ ∈ [0,π], isso dá φ ∈ [π/2,π].

Passo 5

Assim a descrição em coordenadas esféricas é Ω = { (ρ,θ,φ) ∣ 1 ≤ ρ ≤ 2,
−π/2 ≤ θ ≤ 0,
π/2 ≤ φ ≤ π }.

Resposta

Em coordenadas esféricas:
ρ ∈ [1,2],
θ ∈ [−π/2,0],
φ ∈ [π/2,π].

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