En los ejercicios 8-15, se dan regiones Omega en el espacio R^3. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas esféricas.
Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 4, z^2 >= x^2+y^2, z >= 0

Passo 1

O enunciado pede descrever a região Ω dada por x^2+y^2+z^2<= 4, z^2>= x^2+y^2 e z>= 0 em coordenadas esféricas. O tema é mudança de coordenadas e vamos usar as fórmulas esféricas para converter cada desigualdade.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos: x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi, com rho>=0, varphiin[0,pi] e thetain[0,2pi).

Passo 3

A condição x^2+y^2+z^2<=4 fica rho^2<=4, ou seja 0<=rho<=2. A condição z>=0 vira rhocosvarphi>=0, e como rho>=0 isso dá cosvarphi>=0, logo varphiin[0,tfracpi2].

Passo 4

A condição z^2>= x^2+y^2 (rhocosvarphi)^2>=(rhosinvarphi)^2. Cancelando rho^2 não negativo, temos cos^2varphi>=sin^2varphi, ou tan^2varphi<=1, que implica varphiin[0,tfracpi4]cup[tfrac3pi4,tfrac5pi4].

Passo 5

Combinando esse resultado com varphiin[0,tfracpi2] da condição z>=0, ficamos com varphiin[0,tfracpi4].

Passo 6

Não existe restrição adicional em theta, então thetain[0,2pi].

Resposta

Em coordenadas esféricas a região é (rho,varphi,theta)mid0<=rho<=2, 0<=varphi<=tfracpi4, 0<=theta<=2pi.

Exercícios relacionados