En los ejercicios 8-15, se dan regiones
en el espacio
. Describa estas regiones en el sistema de coordenadas esféricas.
Passo 1
El enunciado nos da la región Ω en ℝ³ definida por las desigualdades 1 ≤ x²+y²+z² ≤ 9 y x ≤ y ≤ √3 x. El contenido es cambio a coordenadas esféricas, y vamos a usar las fórmulas x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ, con ρ≥0, θ∈[0,2π), φ∈[0,π].
Passo 2
Convertimos la condición de la esfera: 1 ≤ x²+y²+z² ≤ 9 implica 1 ≤ ρ² ≤ 9, es decir, 1 ≤ ρ ≤ 3.
Passo 3
Convertimos la doble desigualdad x ≤ y ≤ √3 x. Como x=ρ sinφ cosθ y y=ρ sinφ sinθ, para sinφ≠0 dividimos por ρ sinφ>0 y obtenemos cosθ ≤ sinθ ≤ √3 cosθ. La primera da tanθ ≥ 1 ⇒ θ ≥ π/4; la segunda da tanθ ≤ √3 ⇒ θ ≤ π/3. Además en ese tramo φ está en (0,π) y ρ>0, así que cosθ y sinθ son positivas y no cambian el sentido.
Passo 4
No hay más restricciones sobre φ: recorre todo [0,π] porque no aparece en las desigualdades originales. Por tanto φ∈[0,π].