Los parámetros de un transformador elevador de dos devanados y 12 kVA , 120 / 480 \mathrm{Vy} 60 \mathrm{~Hz} son R_{H}=0.6 \Omega, X_{H}=1.2 \Omega, R_{L}=0.1 \Omega, X_{L}=0.3 \Omega, R_{c H}= 3.2 \mathrm{k} \Omega y X_{n H}=1.2 \mathrm{k} \Omega. El transformador opera a 80 \% de su carga con voltaje terminal especificado y factor de potencia de 0.866 en atraso. Determine las pérdidas en el cobre y en el núcleo y la eficiencia del transformador.

Passo 1

Dado no enunciado (copiado aqui com las cantidades que vamos a usar):
  • Potencia nominal: S_{n}=12\\ \text{kVA}.
  • Tensión nominal: 120/480\\ \text{V} (transformador elevador).
  • Frecuencia: 60\\ \text{Hz} (no será necesaria directamente para cálculos).
  • Resistencias y reactancias de los devanados:
    • R_{H}=0{,}6\\ \Omega, \;X_{H}=1{,}2\\ \Omega.
    • R_{L}=0{,}1\\ \Omega, \;X_{L}=0{,}3\\ \Omega.
  • Parámetros del circuito magnético referidos al lado de alta tensión:
    • R_{cH}=3{,}2\\ \text{k}\Omega, \;X_{nH}=1{,}2\\ \text{k}\Omega.
  • Condiciones de operación:
    • Carga al 80\% de la potencia nominal.
    • Tensión terminal igual a la especificada (es decir, tensiones nominales aplicadas).
    • Factor de potencia de la carga \text{pf}=0{,}866 en atraso.
Lo que pide el problema:
  1. Determinar las pérdidas en el cobre (pérdidas en los devanados).
  2. Determinar las pérdidas en el núcleo (pérdidas en hierro).
  3. Determinar la eficiencia del transformador bajo estas condiciones.

Passo 2

Calcular corrientes nominales y de carga:
  • Relación de transformación (rapidez): a=\dfrac{V_H}{V_L}=\dfrac{480}{120}=4.
  • Corrientes nominales: I_{L,n}=\dfrac{S_n}{V_L}=\dfrac{12\,000}{120}=100\\ \text{A},
I_{H,n}=\dfrac{S_n}{V_H}=\dfrac{12\,000}{480}=25\\ \text{A}.
  • Potencia aparente de carga (80%): S_{carga}=0{,}8\cdot S_{n}=0{,}8\cdot 12\,000=9\,600\\ \text{VA}.
  • Corrientes de carga en cada lado (magnitudes, suponiendo tensiones nominales): I_{H,load}=\dfrac{S_{carga}}{V_H}=\dfrac{9\,600}{480}=20\\ \text{A},
I_{L,load}=\dfrac{S_{carga}}{V_L}=\dfrac{9\,600}{120}=80\\ \text{A}.

Passo 3

Explicación rápida de qué son las pérdidas en cobre y cómo se calculan:
  • Las pérdidas en cobre (pérdidas Joule) en cada devanado se calculan como P_{Cu,dev}=I_{dev}^2 R_{dev}, donde I_{dev} es la corriente eficaz que circula por ese devanado (la magnitud del fasor corriente) y R_{dev} la resistencia del devanado.
  • Atención: la corriente real en cada devanado es la suma fasorial de la corriente de carga y de la corriente magnetizante (que proviene de la rama R_c X_n). A menudo, por ser pequeña, se puede despreciar la magnetizante; con todo, aquí calcularemos primero la aproximación (sin magnetizante) y luego la solución más precisa incluyendo la corriente magnetizante.
Aproximación ignorando corriente magnetizante:
P_{Cu,\text{aprox}}=I_{H,load}^2 R_H + I_{L,load}^2 R_L =20^2\cdot 0{,}6 + 80^2\cdot 0{,}1.
Calcular:
20^2\cdot 0{,}6 = 400\cdot 0{,}6 = 240\\ \text{W},
80^2\cdot 0{,}1 = 6\,400\cdot 0{,}1 = 640\\ \text{W}.
P_{Cu,\text{aprox}}=240+640=880\\ \text{W}.

Passo 4

Cálculo de las pérdidas en el núcleo (pérdidas en hierro):
  • La rama de pérdidas en hierro se modela por R_{cH} referida al lado de alta tensión; la potencia real absorbida por esa resistencia es
P_{Fe}=\dfrac{V_H^2}{R_{cH}}.
Sustituyendo V_H=480\\ \text{V} y R_{cH}=3{,}2\\ \text{k}\Omega=3\,200\\ \Omega:
P_{Fe}=\dfrac{480^2}{3\,200}=\dfrac{230\,400}{3\,200}=72\\ \text{W}.
Comentario: las pérdidas en hierro dependen principalmente del voltaje aplicado y la frecuencia; por eso son prácticamente independientes de la carga (cuando se mantiene la tensión nominal).

Passo 5

Cálculo más preciso incluyendo la corriente magnetizante (fasorial):
  • Corriente activa de pérdidas en el núcleo (componente en fase con la tensión): I_c=\dfrac{V_H}{R_{cH}}=\dfrac{480}{3\,200}=0{,}15\\ \text{A}.
  • Corriente magnetizante reactiva (componente en cuadratura): I_m=\dfrac{V_H}{X_{nH}}=\dfrac{480}{1\,200}=0{,}4\\ \text{A}.
  • La corriente de carga en el lado de alta tensión es un fasor con ángulo de desfase por el factor de potencia: el desfase \varphi satisface \cos\varphi=0{,}866\Rightarrow \varphi=30^\circ. Como el pf es en atraso, la corriente carga está retrasada 30^\circ respecto de la tensión: \underline{I}_{H,load}=20\angle -30^\circ.
  • Pasar a forma rectangular (componentes real e imaginaria, tomando eje real como en fase con la tensión): 20\angle -30^\circ = 20(\cos 30^\circ - j\sin 30^\circ)=20(0{,}8660 - j0{,}5)=17{,}3205 - j10{,}0\\ \text{A}.
  • Sumar la corriente de pérdidas en hierro (en fase) y la magnetizante (en cuadratura, con signo negativo imaginario porque es inductiva, es decir, retrasa 90°): \underline{I}_{H,total}=(17{,}3205+0{,}15)+j(-10{,}0-0{,}4)=17{,}4705 - j10{,}4\\ \text{A}.
  • Magnitud de la corriente en alta tensión: I_{H,total}=\sqrt{17{,}4705^2 + 10{,}4^2} =\sqrt{305{,}237 + 108{,}16}=\sqrt{413{,}397}\approx 20{,}342\\ \text{A}.
  • La corriente en el devanado de baja tensión es a veces la del lado alto (en fasor): su magnitud es I_{L,total}=a\cdot I_{H,total}=4\cdot 20{,}342\approx 81{,}368\\ \text{A}.
  • Ahora las pérdidas en cobre reales (incluyendo magnetizante) son: P_{Cu}=I_{H,total}^2 R_H + I_{L,total}^2 R_L.Calculemos numéricamente: I_{H,total}^2\cdot R_H \approx 20{,}342^2\cdot 0{,}6 =(413{,}397)\cdot 0{,}6\approx 248{,}04\\ \text{W},
I_{L,total}^2\cdot R_L \approx 81{,}368^2\cdot 0{,}1 =(6\,619{,}2)\cdot 0{,}1\approx 661{,}92\\ \text{W}.
P_{Cu}\approx 248{,}04 + 661{,}92 = 909{,}96\\ \text{W}\approx 910\\ \text{W}.
Nota didáctica: la diferencia entre la aproximación (880 W) y el cálculo más exacto ( \approx 910\\ \text{W}) viene de considerar la pequeña corriente magnetizante; en problemas de examen a veces se desprecia y otras veces se incluye si se dan R_c y X_n como aquí.

Passo 6

Cálculo de la eficiencia:
  • Potencia activa de salida (potencia entregada a la carga): P_{out}=S_{carga}\cdot \text{pf}=9\,600\cdot 0{,}866=8\,313{,}6\\ \text{W}.
  • Pérdidas totales: P_{perd} = P_{Cu} + P_{Fe} \approx 909{,}96 + 72 = 981{,}96\\ \text{W}.
  • Potencia de entrada: P_{in}=P_{out}+P_{perd}=8\,313{,}6 + 981{,}96 = 9\,295{,}56\\ \text{W}.
  • Eficiencia: \eta=\dfrac{P_{out}}{P_{in}}=\dfrac{8\,313{,}6}{9\,295{,}56}\approx 0{,}8946\\ =89{,}46\%.

Resposta

Pérdidas en cobre: P_{Cu}\approx 910\\ \text{W}
Pérdidas en núcleo: P_{Fe}=72\\ \text{W}
Eficiencia: \eta\approx 89{,}46\%

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