Un transformador reductor de 100 \mathrm{kVA}, 2500 / 125 \mathrm{~V} y 50 Hz tiene los parámetros siguientes: R_{H}=1.5 \Omega, X_{H}=2.8 \Omega, R_{L}=15 \mathrm{~m} \Omega, X_{L}=20 \mathrm{~m} \Omega, R_{c H}=3 \mathrm{k} \Omega y X_{w H}=5 \mathrm{k} \Omega. El transformador alimenta 85 \% de la carga especificada a un voltaje terminal de 110 V y un factor de potencia de 0.866 en atraso. Determine a ) la pérdida en el núcleo, b) la pérdida en el cobre, y c) la eficiencia del transformador.

Passo 1

O enunciado pede que se determine:
  • (a) a perda no núcleo (core loss);
  • (b) a perda no cobre (copper loss, soma das perdas nas duas bobinas);
  • (c) a eficiência do transformador;
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Potência aparente nominal: 100\\ \mathrm{kVA}.
  • Tensões nominais: 2500/125\\ \mathrm{V} (alta/baixa).
  • Frequência: 50\\ \mathrm{Hz}.
  • Parâmetros da bobina de alta tensão (referidos à alta tensão): R_{H}=1{,}5\\ \Omega, X_{H}=2{,}8\\ \Omega.
  • Parâmetros da bobina de baixa tensão (valores no lado de baixa): R_{L}=15\\ \mathrm{m}\Omega=0{,}015\\ \Omega, X_{L}=20\\ \mathrm{m}\Omega=0{,}02\\ \Omega.
  • Parâmetros do ramo magnético referidos ao lado de alta tensão: R_{cH}=3\\ \mathrm{k}\Omega=3000\\ \Omega (resistência de perdas no núcleo), X_{wH}=5\\ \mathrm{k}\Omega=5000\\ \Omega (reatância de magnetização).
  • O transformador alimenta 85\% da carga especificada com tensão terminal no secundário V_2=110\\ \mathrm{V} e fator de potência \mathrm{pf}=0{,}866 em atraso (lagging).
O que vamos precisar calcular logo a seguir:
  • razão de transformação a;
  • correntes (no secundário e referentes ao primário) e ângulos (pela pf);
  • corrente do ramo magnético (componentes ativo e reativo);
  • perdas em cobre (usando correntes reais em cada enrolamento) e perda no núcleo (pela resistência R_{cH});
  • eficiência \eta=\dfrac{P_{out}}{P_{in}}=\dfrac{P_{out}}{P_{out}+ \text{perdas}}.

Passo 2

Calcular a razão de transformação e correntes nominais para ter referências numéricas.
A razão de transformação (tensão de alta sobre baixa) é
a=\dfrac{V_H}{V_L}=\dfrac{2500}{125}=20.
Corrente nominal no lado de baixa (quando 100\\ \mathrm{kVA} e 125\\ \mathrm{V}):
I_{2,\text{nom}}=\dfrac{S_{nom}}{V_{2,\text{nom}}}=\dfrac{100\,000}{125}=800\\ \mathrm{A}.
A carga alimentada é 85\% da potência nominal, portanto a potência aparente da carga é
S_{load}=0{,}85\cdot 100\\\ 000 = 85\,000\\ \mathrm{VA}.
Com V_2=110\\ \mathrm{V} o valor da corrente no secundário (corrente de carga) é
I_2=\dfrac{S_{load}}{V_2}=\dfrac{85\,000}{110}=772{,}727\\ \mathrm{A}.
O ângulo do fator de potência (atraso) é
\cos\varphi=0{,}866 \quad\Rightarrow\quad \varphi=30^\circ,
então a corrente do secundário, referida como fasor com referência de tensão em 0^\circ, é
I_2=772{,}727\\ \angle -30^\circ\\ \mathrm{A}.
A corrente do secundário referida ao primário (por transformação de corrente) vale
I_{2}'=\dfrac{I_2}{a}=\dfrac{772{,}727}{20}=38{,}63636\\ \angle -30^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Determinar a tensão no primário (tensão aplicada ao modelo do lado de alta) decorrente do secundário em 110\\ \mathrm{V}:
V_1=a\cdot V_2=20\cdot 110=2200\\ \mathrm{V}.
Explicação curta (didática): em transformador ideal a tensão no primário é a razão a vezes a tensão no secundário quando ambos referidos às suas terminais.

Passo 4

Calcular as correntes do ramo magnético (ramo paralelo que modela o núcleo), que possuem duas componentes:
  • corrente de perdas no núcleo (em fase com V_1): I_c=\dfrac{V_1}{R_{cH}};
  • corrente magnetizante (reativa, defasada 90^\circ): I_w=\dfrac{V_1}{X_{wH}}.
Cálculos numéricos:
I_c=\dfrac{2200}{3000}=0{,}733333\\ \mathrm{A}\quad(\text{em fase com }V_1).
I_w=\dfrac{2200}{5000}=0{,}44\\ \mathrm{A}\quad(\text{reativo, }-90^\circ).
O ramo magnético total como fasor é a soma:
I_{m}=I_c\angle 0^\circ + I_w\angle -90^\circ = 0{,}733333 - j\,0{,}44\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: R_{cH} modela as perdas no ferro (perdas por histerese e correntes parasitas) e dissipa potência \dfrac{V_1^2}{R_{cH}}. X_{wH} modela a reatância de magnetização e não dissipa potência, apenas corrente reativa.

Passo 5

Expressar a componente de carga no primário (a corrente refletida do secundário) em forma retangular para somar com I_m.
Primeiro, escrevemos I_{2}' em componentes:
I_{2}'=38{,}63636\\ (\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)) =38{,}63636\,(0{,}8660254 - j\,0{,}5).
Cálculo das componentes:
\Re(I_{2}')=38{,}63636\cdot 0{,}8660254\approx 33{,}476,
\Im(I_{2}')=38{,}63636\cdot (-0{,}5)\approx -19{,}31818.
Logo
I_{2}'\approx 33{,}476 - j\,19{,}31818\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Somar fasorialmente a corrente refletida I_{2}' com a corrente do ramo magnético I_{m} para obter a corrente real que circula no enrolamento de alta tensão (esta corrente é que provoca perda em R_H):
Somando componentes:
I_1 = I_{2}'+I_{m}=(33{,}476+0{,}733333) + j(-19{,}31818-0{,}44)
I_1\approx 34{,}209333 - j\,19{,}75818\\ \mathrm{A}.
Módulo da corrente no primário:
|I_1|=\sqrt{34{,}209333^{2}+(-19{,}75818)^{2}}\approx 39{,}503\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: é importante usar a corrente real do primário (que inclui efeito de magnetização) para calcular a perda ôhmica no enrolamento de alta tensão, pois o ramo magnético consome corrente no primário que também aquece esse enrolamento.

Passo 7

Calcular as perdas em cobre (perdas ôhmicas) em cada enrolamento e somar.
Perda no enrolamento de alta tensão (usar R_H e a corrente real do primário):
P_{cu,H}=|I_1|^{2}R_H=(39{,}503)^{2}\cdot 1{,}5 \approx 1{,}560{,}6642\cdot 1{,}5 \approx 2{,}340{,}996\\ \mathrm{W}.
(Usei o quadrado calculado no passo anterior: 39{,}503^{2}\approx 1{,}560{,}664.)
Perda no enrolamento de baixa tensão (uso I_2 e R_L; o ramo magnético não passa pelo secundário, então só a corrente de carga causa essa perda):
P_{cu,L}=I_2^{2}R_L=(772{,}727)^{2}\cdot 0{,}015.
Para evitar erros, uma forma exata:
I_2=\dfrac{85\,000}{110}\quad\Rightarrow\quad I_2^{2}=\dfrac{85\,000^{2}}{110^{2}}=\dfrac{7\,225\,000\,000}{12\,100}\approx 597{,}933{,}8843.
P_{cu,L}=597{,}933{,}8843\cdot 0{,}015\approx 8{,}969{,}008\\ \mathrm{W}.
Perda total em cobre:
P_{cu}=P_{cu,H}+P_{cu,L}\approx 2{,}340{,}996 + 8{,}969{,}008 \approx 11{,}310{,}004\\ \mathrm{W}\approx 11{,}310\\ \mathrm{W}.
Comentário: normalmente as perdas no enrolamento de baixa tensão são maiores quando a corrente é alta (aqui o enrolamento de baixa conduz centenas de ampères).

Passo 8

Calcular a perda no núcleo (perda em R_{cH}):
A potência dissipada na resistência de perdas no núcleo é
P_{core}=\dfrac{V_1^{2}}{R_{cH}}=\dfrac{2200^{2}}{3000}=\dfrac{4\,840\,000}{3000}=1{,}613{,}333\\ \mathrm{W}\approx 1{,}613{,}33\\ \mathrm{W}.
Explicação didática: R_{cH} é a resistência que modela as perdas no ferro; a potência dissipada nela é V^2/R.

Passo 9

Calcular a eficiência.
Potência ativa entregue ao carregador (saída) é
P_{out}=S_{load}\cdot \mathrm{pf}=85\,000\cdot 0{,}866=73\,610\\ \mathrm{W}.
Potências dissipadas somadas:
P_{perdas}=P_{core}+P_{cu}\approx 1{,}613{,}333 + 11{,}310{,}004 \approx 12{,}923{,}337\\ \mathrm{W}.
Potência de entrada:
P_{in}=P_{out}+P_{perdas}\approx 73\,610 + 12\,923{,}337 \approx 86\,533{,}337\\ \mathrm{W}.
Eficiência:
\eta=\dfrac{P_{out}}{P_{in}}=\dfrac{73\,610}{86\,533{,}337}\approx 0{,}8509\approx 85{,}09\%.
Interpretação: a maior parte das perdas está no cobre do enrolamento de baixa tensão (devido à grande corrente), o que reduz a eficiência abaixo de 90\% neste ponto de operação.

Resposta

(a) P_{core}=1{,}613{,}33\\ \mathrm{W}
(b) P_{cu}=11{,}310{,}00\\ \mathrm{W}
(c) \eta=85{,}09\%

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