Em um losango, uma diagonal faz um ângulo de
com um lado. Determine as medidas dos ângulos internos.
Passo 1
O enunciado dá um losango no qual uma diagonal forma um ângulo de
com um dos lados. Pergunta: determinar as medidas dos ângulos internos do losango (isto é, os quatro ângulos internos).
Informações relevantes fornecidas:
- Há um losango (todos os lados congruentes).
- Uma diagonal forma um ângulo de
com um lado (pegamos essa diagonal saindo de um vértice; chamaremos esse vértice de e o lado adjacente de ). - Precisamos encontrar as medidas dos ângulos internos (os quatro ângulos do losango).
Passo 2
Vamos nomear o losango como
em sentido horário e considerar a diagonal
(que liga
a
). O enunciado diz que a diagonal
faz
com o lado
; em notação de ângulos isso é
Aqui
é o ângulo entre o lado
e a diagonal
.
Passo 3
Propriedade importante (vou explicar e justificar): em um losango cada diagonal bisecta os ângulos nos vértices que conecta. Ou seja, a diagonal
divide o ângulo
em duas partes iguais:
Justificativa curta e clara: como
(todos os lados do losango são iguais), considere os triângulos
e
. Eles têm
Portanto
e
são congruentes por SSS, o que implica que os ângulos ao redor de
no vértice
são iguais. Logo,
bisseta
.
Passo 4
Como
bisseta
e uma dessas metades é
, a medida do ângulo inteiro em
é o dobro:
Explanação didática: “bissetar” significa dividir em duas partes iguais; se cada parte vale
, o todo é
.
Passo 5
Outra propriedade do losango: ele é um paralelogramo, então ângulos adjacentes são suplementares (somam
). Assim, o ângulo adjacente a
, que é
, satisfaz
Como os ângulos opostos em um losango são iguais, temos também
e
.
Passo 6
Resumo final do raciocínio: a diagonal bisseta o ângulo do vértice, então o ângulo do vértice é
; o ângulo adjacente é suplementar e vale
. O losango tem, portanto, dois ângulos de
e dois ângulos de
.