Em um lote de 100 peças, existem:
  • 70 peças não-defeituosas
  • 30 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acaso DUAS peças do lote:
A={a primeira peça é defeituosa }çé.
B={\text { a segunda peça é defeituosa }}_{i}çé
Calcule P(B) sem reposição.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há um lote com 100 peças.
  • 70 peças são não-defeituosas.
  • 30 peças são defeituosas.
  • Extraem-se ao acaso e sem reposição duas peças, uma após a outra.
  • Definiram-se os eventos:
    • A=\{\text{a primeira peça é defeituosa}\}çé.
    • B=\{\text{a segunda peça é defeituosa}\}çé.
O que se pede:
  • Calcular P(B), a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, no caso de retirada sem reposição.

Passo 2

Por que usar condicional / fórmula da probabilidade total?
  • A probabilidade de a segunda peça ser defeituosa depende do que aconteceu na primeira retirada (se a primeira foi defeituosa ou não). Assim é natural usar a fórmula da probabilidade total condicionando em A e em A^{c} (evento complementar: primeira não defeituosa).
  • A fórmula da probabilidade total (para dois casos mutuamente exclusivos e exaustivos) é
P(B)=P(B\mid A)\,P(A)+P(B\mid A^{c})\,P(A^{c}).
Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de a segunda ser defeituosa dado que a primeira foi defeituosa; P(A) é a probabilidade da primeira ser defeituosa; e análogamente para A^{c}.

Passo 3

Calcular P(A) e P(A^{c}).
  • 30 defeituosas entre 100 peças, então a probabilidade de a primeira ser defeituosa é
P(A)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}.
  • O complementar é
P(A^{c})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}.

Passo 4

Calcular P(B\mid A): probabilidade da segunda ser defeituosa se a primeira foi defeituosa.
  • Se a primeira foi defeituosa, restam 30-1=29 peças defeituosas no lote, e o total de peças restantes é 100-1=99.
  • Assim
P(B\mid A)=\dfrac{29}{99}.

Passo 5

Calcular P(B\mid A^{c}): probabilidade da segunda ser defeituosa se a primeira NÃO foi defeituosa.
  • Se a primeira foi não-defeituosa, continuam existindo 30 peças defeituosas, e há 99 peças no total restantes.
  • Assim
P(B\mid A^{c})=\dfrac{30}{99}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da probabilidade total e fazer as contas passo a passo.
P(B)=P(B\mid A)\,P(A)+P(B\mid A^{c})\,P(A^{c}).
Substituindo os valores que achamos:
P(B)=\dfrac{29}{99}\cdot\dfrac{3}{10}+\dfrac{30}{99}\cdot\dfrac{7}{10}.
Calcule o numerador comum:
29\cdot 3 + 30\cdot 7 = 87 + 210 = 297.
Portanto
P(B)=\dfrac{297}{99\cdot 10}=\dfrac{297}{990}.

Passo 7

Simplificar a fração e interpretar o resultado.
  • Note que 297=3\cdot 99, então
P(B)=\dfrac{3\cdot 99}{10\cdot 99}=\dfrac{3}{10}.
  • Em termos decimais, \dfrac{3}{10}=0{,}3.
  • Interpretação intuitiva (explicação didática): sem reposição, embora a composição do lote mude depois da primeira retirada, o evento “a segunda peça é defeituosa” tem, marginalmente, a mesma probabilidade que a primeira. Isso ocorre por simetria: antes de qualquer retirada todas as posições (primeira, segunda, …) são igualmente prováveis para qualquer peça, então a probabilidade de a peça que ocupará a posição 2 ser defeituosa é simplesmente a proporção inicial de defeituosas, 30/100. A lei da probabilidade total confirma isso numericamente.

Resposta

\displaystyle P(B)=\frac{3}{10}=0{,}3

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