Em um lote de 100 peças, existem:
- 70 peças não-defeituosas
- 30 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acaso DUAS peças do lote:
.
Calcule
sem reposição.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há um lote com
peças. -
peças são não-defeituosas. -
peças são defeituosas. - Extraem-se ao acaso e sem reposição duas peças, uma após a outra.
- Definiram-se os eventos:
-
. -
.
-
O que se pede:
- Calcular
, a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, no caso de retirada sem reposição.
Passo 2
Por que usar condicional / fórmula da probabilidade total?
- A probabilidade de a segunda peça ser defeituosa depende do que aconteceu na primeira retirada (se a primeira foi defeituosa ou não). Assim é natural usar a fórmula da probabilidade total condicionando em
e em (evento complementar: primeira não defeituosa). - A fórmula da probabilidade total (para dois casos mutuamente exclusivos e exaustivos) é
Aqui
é a probabilidade de a segunda ser defeituosa dado que a primeira foi defeituosa;
é a probabilidade da primeira ser defeituosa; e análogamente para
.
Passo 3
Calcular
e
.
- Há
defeituosas entre peças, então a probabilidade de a primeira ser defeituosa é
- O complementar é
Passo 4
Calcular
: probabilidade da segunda ser defeituosa se a primeira foi defeituosa.
- Se a primeira foi defeituosa, restam
peças defeituosas no lote, e o total de peças restantes é . - Assim
Passo 5
Calcular
: probabilidade da segunda ser defeituosa se a primeira NÃO foi defeituosa.
- Se a primeira foi não-defeituosa, continuam existindo
peças defeituosas, e há peças no total restantes. - Assim
Passo 6
Aplicar a fórmula da probabilidade total e fazer as contas passo a passo.
Substituindo os valores que achamos:
Calcule o numerador comum:
Portanto
Passo 7
Simplificar a fração e interpretar o resultado.
- Note que
, então
- Em termos decimais,
. - Interpretação intuitiva (explicação didática): sem reposição, embora a composição do lote mude depois da primeira retirada, o evento “a segunda peça é defeituosa” tem, marginalmente, a mesma probabilidade que a primeira. Isso ocorre por simetria: antes de qualquer retirada todas as posições (primeira, segunda, …) são igualmente prováveis para qualquer peça, então a probabilidade de a peça que ocupará a posição 2 ser defeituosa é simplesmente a proporção inicial de defeituosas,
. A lei da probabilidade total confirma isso numericamente.