Calcule (a) o número médio de sucessos e (b) o desvio padrão num problema estatístico governado pela distribuição binomial. (c) Verifique a condição de normalização. (d) Utilize a distribuição binomial para resolver o seguinte problema: Um dado é lançado 5 vezes. Qual é a probabilidede de se obter obter um ás (face 1) pelo menos 2 vezes? Explique.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas à distribuição binomial:
- (a) calcular o número médio de sucessos;
- (b) calcular o desvio padrão;
- (c) verificar a condição de normalização da distribuição;
- (d) aplicar a distribuição binomial ao caso: um dado é lançado
vezes e queremos a probabilidade de obter um ás (face ) pelo menos vezes.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
- A variável aleatória
segue a distribuição binomial com parâmetros (número de ensaios) e (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Ou seja, para ,
- No item (d) temos
e a probabilidade de sucesso em cada lançamento (obter um ás) é . - As repetições são independentes e
é constante a cada ensaio (condições para usar a binomial).
Passo 2
Definição da média (valor esperado) e estratégia de solução.
- O valor esperado (média) de uma variável aleatória discreta
- Método didático escolhido: escrever
como soma de variáveis indicadoras de cada ensaio. Isso é normalmente mais simples e evita somas pesadas. Definir, para ,
Então
Explicação: cada
e
.]
Passo 3
Cálculo do número médio de sucessos
.
- Primeiro, a expectativa de uma Bernoulli
é
- Usando linearidade da esperança (que vale sem necessidade de independência),
Comentário intuitivo: em média espera-se
sucessos por ensaio, e com
ensaios espera-se
sucessos totais.
Passo 4
Cálculo da variância e do desvio padrão.
- Variância de uma Bernoulli
:
Como
(porque
é
ou
), temos
. Logo
- As
são independentes, então a variância da soma é a soma das variâncias:
- O desvio padrão (raiz quadrada da variância) é
Comentário:
dá a “escala” típica das flutuações em torno da média
.
Passo 5
Verificação da condição de normalização (soma das probabilidades = 1).
- A soma das probabilidades da binomial é
- Pela fórmula do binômio de Newton (binomial theorem),
Tomando
e
, obtemos
Portanto a distribuição está normalizada.
Passo 6
Aplicação ao problema do dado (item d): formular a variável e a probabilidade pedida.
- Cada lançamento do dado é um ensaio de Bernoulli: “sucesso” = obter ás (face
), com . - Número de ensaios
. - Seja
o número de ases em lançamentos. Então . - Queremos
. É mais fácil calcular o complementar:
Passo 7
Cálculo de
.
- Pela fórmula binomial,
- Calculando a potência em fração,
Passo 8
Cálculo de
.
- Pela fórmula binomial,
- Calculando em frações,
logo
Observação simpática: aqui
e
coincidem numericamente (ambas
) por esta combinação de
e
.
Passo 9
Cálculo final de
e simplificação.
- Somando os complementares,
- Então
- Simplificando por
,
- Aproximação decimal (arredondando):
, ou seja cerca de .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)